[论文解读] Special values of anticyclotomic L-functions for modular forms

Masataka Chida, Ming-Lun Hsieh|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文为高权（k ≥ 4）的普通模形式构造了反循环p进L函数，推广了此前对权2形式的研究。它在所有临界特化点上建立了插值公式，证明了函数方程，并在p-普通假设下证明了μ-不变量的消失，且在特定条件下，中心L值在反循环扭因子下模ℓ不消失。

ABSTRACT

In this article, we generalize some works of Bertolini-Darmon and Vatsal on anticyclotomic L-functions attached to modular forms of weight two to higher weight case. We construct a class of anticyclotomic p-adic L-functions for ordinary modular forms and derive the functional equation and the interpolation formula at all critical specializations. Moreover, we prove results on the vanishing of mu-invariant of these p-adic L-functions and the non-vanishing of central L-values with anticyclotomic twists.

研究动机与目标

• 将反循环p进L函数理论从权2模形式推广至高权普通模形式。
• 在虚二次域K的反循环Z_p扩张上构造一个p进L函数。
• 在所有临界特化点上建立所构造p进L函数的插值公式，并证明其函数方程。
• 在p-普通假设下证明p进L函数的μ-不变量消失。
• 在适当条件下，证明中心L值L(f/K, χ, k/2)在反循环Hecke特征标扭因子下模ℓ不消失。

提出的方法

• 通过反循环伽罗瓦群Γ⁻的Iwasawa代数中的theta元素构造p进L函数。
• 利用Jacquet-Langlands对应，将GL(2)上的模形式与定值四元数代数上的自守形式联系起来。
• 应用Gross点与特殊循环的理论，定义插值扭L函数临界值的theta元素。
• 推导出包含Gamma因子、周期、p进乘子和局部根数的显式插值公式。
• 采用Taylor-Wiles方法与形变理论，证明Hecke模的自由性，并控制Selmer群的结构。
• 利用蛇形引理与上同调计算，将Selmer群与p进L函数及其特殊值的结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为高权（k ≥ 4）的普通模形式（而不仅是权2形式）构造反循环p进L函数？
• RQ2 所构造p进L函数的插值公式是否在所有临界特化点（m, -m）上成立，其中|m| < k/2？
• RQ3 所构造p进L函数满足何种函数方程？
• RQ4 在何种条件下p进L函数的μ-不变量消失？
• RQ5 在何种条件下，中心L值L(f/K, χ, k/2)在反循环扭因子χ下模ℓ不消失？

主要发现

• 构造了p进L函数Θ∞ ∈ Of,λ[[Γ⁻]]，使得对每个权为(m, -m)的临界特征标χ，χ(Θ∞²)以显式周期与p进乘子为因子，插值临界L值L(f/K, χ, k/2)。
• 插值公式包含Gamma因子Γ(k/2 + m)Γ(k/2 - m)、复周期Ωf,N⁻，以及依赖于p的分裂类型与权k的p进乘子ep(f, χ)。
• 在假设p > k - 2且Ap为λ-进单位（即p-普通假设）下，p进L函数的μ-不变量消失。
• 当p进化身χ为临界且Hecke域在ℓ处无分支时，中心L值L(f/K, χ, k/2)模ℓ不消失。
• 构造与函数方程相容，p进L函数在伽罗瓦作用下变换的方式与阿基米德与p进插值性质一致。
• 通过Selmer群的上同调控制与Iwasawa代数上Hecke模的结构，确立了theta元素模ℓ的非零性。