[论文解读] Special values of automorphic $L$-functions for $GL_{n} imes GL_{n'}$ over CM fields, factorization and functoriality of arithmetic automorphic periods

Jie Lin|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文将迈克尔·哈里森关于算术自守周期的理论推广至一般CM域，并证明其可分解为局部分量。证明了CM域上GLₙ × GLₙ′的L函数临界值可表示为这些周期的函数，展示了自守诱导与循环基变更下的函子性，并确认了与动机的德利涅猜想的一致性。

ABSTRACT

Michael HARRIS defined the arithmetic automorphic periods for certain cuspidal representations of $GL_{n}$ over quadratic imaginary fields in his Crelle paper 1997. He also showed that critical values of automorphic L-functions for $GL_{n} imes GL_{1}$ can be interpreted in terms of these arithmetic automorphic periods. In the thesis, we generalize his results in two ways. Firstly, the arithmetic automorphic periods have been defined over general CM fields. We also prove that these periods factorize as products of local periods over infinity places. Secondly, we show that critical values of automorphic $L$ functions for $GL_{n} imes GL_{n'}$ can be interpreted in terms of these automorphic periods in many situations. Consequently we show that the automorphic periods are functorial for automorphic induction and cyclic base change. We also define certain motivic periods if the motive is restricted from a CM field to the field of rational numbers. We can calculate Deligne's period for tensor product of two such motives. We see directly that our automorphic results are compatible with Deligne's conjecture for motives.

研究动机与目标

• 将迈克尔·哈里森关于算术自守周期的理论从二次虚域推广至一般CM域。
• 证明CM域上GLₙ × GLₙ′的临界L值可表示为这些周期的函数。
• 建立算术自守周期在无限位置上的局部分量分解。
• 证明这些周期在自守诱导与循环基变更下的函子性。
• 为从CM域限制到ℚ上的动机定义动机周期，并验证其与德利涅猜想的一致性。

提出的方法

• 为一般CM域上具有上同调性、共轭自对偶及尖点性的自守表示定义算术自守周期。
• 利用Hodge结构与有理对偶性，证明这些周期在无限位置上可分解为局部周期的乘积。
• 利用Shahidi的Whittaker周期计算及上同调上的有理结构，将全局周期与L值关联。
• 应用基变更与自守诱导技术，建立周期在这些操作下的函子性。
• 推导L函数特殊值的显式公式，其形式为算术周期的乘积与(2πi)的幂次之积，其中幂次由谱参数精确确定。
• 通过计算由CM域上Hecke特征得到的动机张量积的德利涅周期，验证其与德利涅猜想的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将算术自守周期从二次虚域推广至任意CM域？
• RQ2 算术自守周期在无限位置上如何分解为局部分量？
• RQ3 CM域上GLₙ × GLₙ′的临界L值是否可表示为这些周期的函数？
• RQ4 算术自守周期在自守诱导与循环基变更下是否具有函子性？
• RQ5 自守公式对特殊L值是否与德利涅猜想相容？

主要发现

• CM域上GLₙ × GLₙ′的临界L值可表示为算术自守周期与(2πi)的幂次之积，其中幂次由谱参数决定。
• 算术自守周期在无限位置上可分解为局部周期的乘积，确认了其关键结构性质。
• 周期在自守诱导与循环基变更下具有函子性，通过全局与局部分量间的周期关系得以证明。
• 当r₁ ≡ r₂ (mod 2) 时，L(1, Π₁ × Π₂) ∼_{E(Π₁)E(Π₂);K} (2πi)^{r₁r₂} ∏_{j=0}^{r₁} P^{(j)}(Π₁)^{sp(j,Π₁;Π₂)} ∏_{k=0}^{r₂} P^{(k)}(Π₂)^{sp(k,Π₂;Π₁)}。
• 当r₁ ̸≡ r₂ (mod 2) 时，L(½, (Π₁ ⊗ ψ) × Π₂) ∼_{E(Π₁)E(Π₂)E(ψ);K} (2πi)^{r₁r₂/2} ∏_{j=0}^{r₁} P^{(j)}(Π₁ ⊗ ψ)^{sp(j,Π₁ ⊗ ψ;Π₂)} ∏_{k=0}^{r₂} P^{(k)}(Π₂)^{sp(k,Π₂;Π₁ ⊗ ψ)}，其中幂次由谱参数精确导出。
• 自守结果与德利涅猜想一致，经由计算从CM域限制到ℚ上的动机张量积的德利涅周期得以验证。