[论文解读] Special Values of Zeta Functions of Schemes

Stephen Lichtenbaum|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一个关于在 Spec ℤ 上正则、投影且平坦的概形的 zeta 函数特殊值的猜想公式，将其表达为由奇异、de Rham 和 Weil-étale 模 motivic 上同调群构建的复形的欧拉示性数的乘积，符号和 2 的幂次除外。该公式在 d ≤ 2 时与 Serre 的函数方程相容，并在 d > 2 时在已知猜想的基础上成立，推广了 Beilinson、Bloch-Kato 和 Fontaine-Perrin-Riou 的早期工作。

ABSTRACT

Let X be a regular scheme, projective and flat over Spec \mathbb Z. We give a conjectural formula, up to sign and powers of 2, for ζ^*(X,r), the leading term in the series expansion of ζ(X,s) at s=r, in terms of Weil-etale motivic cohomology, singular cohomology, and derived de Rham cohomology. This formula builds on work of Fontaine and Perrin-Riou replacing \mathbb Q_structuers by \mathbb Z-structures. We show that our conjectured formula is compatible with Serre's functional equation for the zeta function of X.

研究动机与目标

• 提出一个关于在 Spec ℤ 上的正则概形 X 的 zeta 函数特殊值 ζ*(X,r) 的猜想公式，其形式在符号和 2 的幂次范围内成立。
• 将这些特殊值表达为由具有整数结构的奇异、de Rham 和 Weil-étale 模 motivic 上同调群构建的复形的欧拉示性数的乘积。
• 建立该猜想与 d ≤ 2 时的 Serre 函数方程的相容性。
• 在假设先前未证明的猜想（特别是关于 étale 模 motivic 上同调的有限性与对偶性）成立的前提下，将相容性推广至 d > 2 的高维情形。
• 通过更精确地处理无穷素数和正规化，统一并改进 Beilinson、Bloch-Kato、Fontaine-Perrin-Riou 和 Flach-Morin 的早期猜想。

提出的方法

• 该猜想将 ζ*(X,r) 表达为由 Beilinson 正规化映射和 Arakelov 交配对构建的复形的欧拉示性数的乘积。
• 通过使用奇异、de Rham 和 Weil-étale 模 motivic 上同调群的变体，并赋予其整数结构来构造复形。
• 该方法依赖于 Bloch-Kato-Saito 定理，该定理将特殊值与复形的欧拉示性数联系起来，而非单个上同调群。
• 利用 Beilinson 正规化映射及其行列式来定义特殊值公式，并对挠子群和 2 的幂次因子加入校正项。
• 该方法通过聚焦于无穷位置，避免了详细的地方分析，使公式比早期基于局部积的方法更具概念性。
• 假设 ζ(X,s) 在 ℂ 上存在亚纯延拓，étale 模 motivic 上同调是有限生成的，并且 H^{2r+1}_{ét}(X,ℤ(r)) 与 H^{2(d−r)+1}_{ét}(X,ℤ(d−r)) 之间存在对偶性，以确保与函数方程的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在符号和 2 的幂次范围内，用 motivic 上同调和正规化来表达在 Spec ℤ 上的正则概形的 zeta 函数特殊值？
• RQ2 当 dim X ≤ 2 时，所提出的猜想与 Serre 函数方程的相容性在多大程度上成立？
• RQ3 在何种条件下可将相容性推广至 d > 2 的概形？这些条件如何与文献中已有的猜想相关联？
• RQ4 所提出的公式与 Beilinson、Bloch-Kato、Fontaine-Perrin-Riou 和 Flach-Morin 的早期猜想有何关系？
• RQ5 为何使用复形的欧拉示性数而非单个上同调群，能解决上同调中挠子群带来的问题？

主要发现

• 在假设 Bloch-Kato-Saito 定理和 étale 上同调对偶性成立的前提下，该猜想与 d ≤ 2 时的 Serre 函数方程相容。
• 对于 d > 2，相容性在两个先前未证明的猜想下成立——即 H^{2r+1}_{ét}(X,ℤ(r)) 的有限性及其与 H^{2(d−r)+1}_{ét}(X,ℤ(d−r)) 的 Pontryagin 对偶性——这些猜想在 d ≤ 2 时已被证明成立。
• 该猜想推广了 Beilinson 对 r ≤ 0 的公式和 Bloch-Kato 对 j−2r ≤ −3 的公式，将其扩展至所有整数 r。
• 该公式将 ζ*(X,r) 表达为 |K_{2r−2}(O_F)| / |K_{2r−1}(O_F)_{tor}|、正规化行列式 R_r 和 (2πi)^{rs(r)} 乘以 d_F^{r−1/2} 的乘积，误差项为 2-挠子群。
• 该猜想与 Jacobian 为算术曲面时的 Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想在 r=1 时等价，扩展了 Ramachandran 和 Flach-Siebert 的结果。
• 证明了导出外幂构造 λ^k(Ω) 在导出范畴中同构于 Ω[k−1]，从而可借助判别式 d_F 和正规化贡献来计算欧拉示性数。