[论文解读] Specializations of nonsymmetric Macdonald-Koornwinder polynomials

Daniel L. Orr, Mark Shimozono|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用 16

一句话总结

本文将Ram-Yip公式推广至不等参数、非约化仿射根系下的非对称Macdonald-Koornwinder多项式，通过在$t\to 0$、$t\to\infty$和$q\to\infty$的特殊化下，利用量子阿克洛夫路径给出了显式的组合公式。它证明了在$t\to\infty$时多项式系数的非负性，为所有仿射类型定义了量子Bruhat图，并将$q\to\infty$极限与$p$-进Iwahori-Whittaker函数联系起来。

ABSTRACT

This work records the details of the Ram-Yip formula for nonsymmetric Macdonald-Koornwinder polynomials for the double affine Hecke algebras of not-necessarily-reduced affine root systems. It is shown that the t=0 equal-parameter specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials admits an explicit combinatorial formula in terms of quantum alcove paths, generalizing the formula of Lenart in the untwisted case. In particular our formula yields a definition of quantum Bruhat graph for all affine root systems. For mixed type the proof requires the Ram-Yip formula for the nonsymmetric Koornwinder polynomials. A quantum alcove path formula is also given for the limit at t equal to infinity. As a consequence we establish the positivity of the coefficients of nonsymmetric Macdonald polynomials under this limit, as conjectured by Cherednik and the first author. Finally, an explicit formula is given at q equal to infinity, which yields the p-adic Iwahori-Whittaker functions of Brubaker, Bump, and Licata.

研究动机与目标

• 将Ram-Yip公式扩展至不等参数、非约化情形下的非对称Macdonald-Koornwinder多项式。
• 通过量子阿克洛夫路径，为$E_\lambda(X;q;0)$提供一个组合公式，将Lenart的公式推广至所有仿射根系。
• 证明$E_\lambda(X;q;\infty)$中系数的非负性，从而证实Cherednik与Orr的猜想。
• 推导$E_\lambda(X;\infty;t)$的显式公式，将其与Brubaker、Bump与Licata的$p$-进Iwahori-Whittaker函数联系起来。
• 通过$t\to 0$特殊化，为所有仿射根系定义量子Bruhat图。

提出的方法

• 将Ram-Yip公式推广至具有不等参数和非约化根系的双仿射Hecke代数（DAHA）。
• 利用量子阿克洛夫路径，将$t\to 0$特殊化$E_\lambda(X;q;0)$表示为路径的和，其中路径具有权重和度数统计量。
• 在$t\to\infty$时应用Ram-Yip公式，利用量子Bruhat图中的反向路径证明系数的非负性。
• 通过量子Bruhat图上的对偶性和对合，将$E_\lambda(X;q^{-1};\infty)$与$\overleftarrow{\mathcal{QB}}(\mathrm{id};m_\lambda)$中的路径关联起来。
• 通过双和路径反转推导$q\to\infty$极限，证明$E_\lambda(X;\infty;v^{-1})$是负折叠阿克洛夫路径的和。
• 利用Hall-Littlewood多项式和Schwer公式的相关已知结果，验证在$q=0$时的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Ram-Yip公式扩展至非约化、不等参数情形下的非对称Macdonald-Koornwinder多项式？
• RQ2 $E_\lambda(X;q;t)$在$t\to 0$时的特殊化是否在所有仿射根系中都具有统一的组合公式？
• RQ3 Cherednik与Orr所猜想的$E_\lambda(X;q;\infty)$系数非负性是否对所有仿射根系都成立？
• RQ4 $E_\lambda(X;q;t)$在$q\to\infty$时的极限是否能以组合方式表达，并与已知的$p$-进自守形式关联？
• RQ5 混合类型与扭仿射根系的量子Bruhat图具有怎样的结构？

主要发现

• $t\to 0$特殊化$E_\lambda(X;q;0)$可通过量子阿克洛夫路径给出组合公式，将Lenart的公式推广至所有仿射根系。
• $t\to\infty$特殊化$E_\lambda(X;q;\infty)$的系数属于$\mathbb{Z}_{\geq 0}[q]$，从而证实了Cherednik与Orr的非负性猜想。
• 通过$t\to 0$特殊化，为所有仿射根系定义了量子Bruhat图，且在长元$w_0$作用下，路径与权重之间存在双射。
• $q\to\infty$极限给出$E_\lambda(X;\infty;t)$为负折叠阿克洛夫路径的和，与Brubaker、Bump与Licata的$p$-进Iwahori-Whittaker函数一致。
• 在$q=0$时，公式退化为Schwer对Hall-Littlewood多项式的公式，与已知结果一致。
• $q\to\infty$与$q\to 0$极限通过双偶性关联，其中$E_\lambda(X;\infty;v^{-1})$可通过$\mathcal{B}^{-}(\mathrm{id};m_\lambda)$中的反向路径表达。