[论文解读] Spectacle cycles with coefficients and modular forms of half-integral weight

Jens Funke, John J. Millson|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文引入了'spectacle cycles'——带有非平凡系数的截断模形式符号——以将Shintani提升从尖点形式推广到任意模形式，包括Eisenstein级数。证明了这些循环上上同调周期的生成级数是权为半整数的模形式，通过一种新的具有非局部常数局部系统的新单纯同调理论，将Kudla-Millson对偶性推广至非紧致情形。

ABSTRACT

In this paper we present a geometric way to extend the Shintani lift from even weight cusp forms for congruence subgroups to arbitrary modular forms, in particular Eisenstein series. This is part of our efforts to extend in the noncompact situation the results of Kudla-Millson and Funke-Millson relating Fourier coefficients of (Siegel) modular forms with intersection numbers of cycles (with coefficients) on orthogonal locally symmetric spaces. In the present paper, the cycles in question are the classical modular symbols with nontrivial coefficients. We introduce "capped" modular symbols with coefficients which we call "spectacle cycles" and show that the generating series of cohomological periods of any modular form over the spectacle cycles is a modular form of half-integral weight. In the last section of the paper we develop a new simplicial homology theory with local coefficients (that are not locally constant) that allows us to extend the above results to orbifold quotients of the upper half plane.

研究动机与目标

• 将Shintani提升从尖点形式推广至非紧致情形下的任意模形式，包括Eisenstein级数。
• 通过相对循环捕捉边界行为，将Kudla-Millson theta提升推广至上同调群。
• 发展一种具有非局部常数局部系数的单纯同调理论，以处理上半平面的轨道商空间。
• 通过截断循环和theta级数中的修正项，为Hirzebruch-Zagier结果提供几何解释。
• 证明spectacle cycles上上同调周期的生成级数为权为半整数的模形式。

提出的方法

• 引入'spectacle cycles'作为带有对称幂局部系统$\widetilde{E_{2k}}$系数的截断模形式符号。
• 在$\overline{X}$上构造一个边界为$\partial\overline{X}$的映射锥de Rham复形，以建模具有非平凡系数的相对上同调。
• 通过满足$a - d(f\tilde{b}) = \alpha + d\mu$的微分形式$\alpha$，在紧支上同调$H^i_c(X,E)$中定义上同调类$[a,b]$。
• 在$\partial\overline{X}$的邻域上使用收缩映射$f$，以扩展形式并利用$f\tilde{b}$定义修正项。
• 通过映射$F(a,b) = [a,b]$建立同构$\overline{F}: H^\bullet(C) \to H^\bullet_c(X,E)$，证明其与上同调的相容性。
• 利用公式$\int_{\overline{X}} \eta \wedge \alpha = \int_{\overline{X}} \eta \wedge a - \int_{\partial\overline{X}} i^*\eta \wedge b$推导Kronecker配对的积分表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shintani提升能否在非紧致情形下从尖点形式推广至任意模形式，包括Eisenstein级数？
• RQ2 如何将Kudla-Millson theta提升推广至包含边界贡献的上同调群？
• RQ3 非局部常数局部系统在定义循环及其上同调周期中起什么作用？
• RQ4 如何发展一种单纯同调理论，以处理轨道商空间中非平凡局部系数的情形？
• RQ5 能否证明截断模形式符号上周期的生成级数为权为半整数的模形式？

主要发现

• spectacle cycles上上同调周期的生成级数是$S_{k+3/2}(\Gamma') \otimes H^1(X, \widetilde{E_{2k}})$中的权为半整数的模形式。
• 映射$F: (a,b) \mapsto [a,b]$诱导同构$\overline{F}: H^\bullet(C) \to H^\bullet_c(X,E)$，建立了上同调对偶性。
• 积分公式$\langle[\eta],[a,b]\rangle = \int_{\overline{X}} \eta \wedge a - \int_{\partial\overline{X}} i^*\eta \wedge b$为Kronecker配对提供了几何配对。
• 通过将相对循环$C_n$截断为绝对循环$C_n^c$，该构造使得theta提升可扩展至完整上同调，包括边界贡献。
• 该方法通过映射锥复形将Hirzebruch-Zagier结果重新解释为两个非全纯模形式的差，现从拓扑角度理解。
• 具有非局部常数系数的新单纯同调理论使得结果可推广至上半平面的轨道商空间。