[论文解读] Spectra of hypergraphs

Aaron Dutle|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过使用多重线性代数将矩阵的特征值概念扩展到超矩阵，为一致超图建立了谱理论。它通过特征多项式和变分法定义特征值，将其应用于邻接超矩阵，并证明了谱图论中基本结果在超图中的类比，例如瑞利商表征和特征值界。

ABSTRACT

We present a spectral theory of uniform hypergraphs that closely parallels Spectral Graph Theory. A number of developments building upon classical work has led to a rich understanding of 'symmetric hyperdeterminants' of hypermatrices, a.k.a. multidimensional arrays. Symmetric hyperdeterminants share many properties with determinants, but the context of multilinear algebra is substantially more complicated than the linear algebra required to address Spectral Graph Theory (i.e., ordinary matrices). Nonetheless, it is possible to define eigenvalues of a hypermatrix via its characteristic polynomial as well as variationally. We apply this notion to the 'adjacency hypermatrix' of a uniform hypergraph, and prove a number of natural analogues of basic results in Spectral Graph Theory.

研究动机与目标

• 开发一种与经典谱图论相平行的一致超图谱理论。
• 通过多重线性代数和对称超行列式，将特征值概念从矩阵推广到超矩阵。
• 通过特征多项式和变分原理，基于邻接超矩阵定义超图的特征值。
• 建立谱图论中基本结果在超图中的类比，例如瑞利商表征和特征值交错性质。

提出的方法

• 使用超矩阵的对称超行列式作为多重线性代数基础，推广矩阵行列式。
• 通过其特征多项式定义超矩阵的特征值，将矩阵概念扩展到多维数组。
• 将特征值定义应用于一致超图的邻接超矩阵，推导其谱性质。
• 采用特征值的变分表征，类似于矩阵理论中的瑞利商。
• 利用对称超行列式的性质，证明关于超图谱的结构性结果。
• 在超图背景下建立经典谱图论结果的类比，例如特征值界和谱间隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何一致地定义超矩阵的特征值，以推广矩阵情形？
• RQ2 一致超图的邻接超矩阵具有哪些谱性质？
• RQ3 经典谱图论结果在超图设置中在多大程度上存在类比？
• RQ4 在超矩阵背景下，变分原理和特征多项式如何表现？
• RQ5 通过分析一致超图邻接超矩阵的谱，可以获得哪些结构性见解？

主要发现

• 超矩阵的特征值通过其特征多项式定义，将矩阵特征值概念推广到多维数组。
• 为超矩阵建立了特征值的变分表征，类似于矩阵理论中的瑞利商。
• 一致超图邻接超矩阵的谱满足经典谱界在超图中的类比。
• 谱间隙和特征值交错性质在超图设置中成立，推广了图论中的结果。
• 该理论基于对称超行列式，其与行列式具有关键相似性，但作用于更复杂的多重线性代数框架。