[论文解读] Spectra of large random trees

Shankar Bhamidi, Steven N. Evans+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文通过概率邻域收敛与交错不等式，建立了各类大随机树邻接矩阵的经验谱分布（ESD）几乎必然收敛于确定性极限。研究表明，对于偏好连接、递归树和均匀树等模型，极限谱测度在实轴上具有稠密集的原子，并通过最大匹配推导出零特征值数量的精确渐近行为，扩展了加权匹配与同谱性方面的结果。

ABSTRACT

We analyze the eigenvalues of the adjacency matrices of a wide variety of random trees. Using general, broadly applicable arguments based on the interlacing inequalities for the eigenvalues of a principal submatrix of a Hermitian matrix and a suitable notion of local weak convergence for an ensemble of random trees, we show that the empirical spectral distributions for each of a number of random tree models converge to a deterministic (model dependent) limit as the number of vertices goes to infinity. We conclude for ensembles such as the linear preferential attachment models, random recursive trees, and the uniform random trees that the limiting spectral distribution has a set of atoms that is dense in the real line. We obtain precise asymptotics on the mass assigned to zero by the empirical spectral measures via the connection with the cardinality of a maximal matching. Moreover, we show that the total weight of a weighted matching is asymptotically equivalent to a constant multiple of the number of vertices when the edge weights are independent, identically distributed, non-negative random variables with finite expected value. We greatly extend a celebrated result obtained by Schwenk for the uniform random trees by showing that, under mild conditions, with probability converging to one, the spectrum of a realization is shared by at least one other tree. For the the linear preferential attachment model with parameter $a > -1$, we show that the suitably rescaled $k$ largest eigenvalues converge jointly.

研究动机与目标

• 建立大随机树邻接矩阵的经验谱分布（ESD）在多种模型下，随着顶点数趋于无穷时，弱收敛于确定性极限。
• 利用最大匹配的组合性质，分析随机树中零特征值数量的极限行为。
• 扩展随机树中加权匹配的结果，证明在独立同分布的边权下，最大加权匹配的总权重渐近等价于顶点数的常数倍。
• 研究随机树集合中的同谱性，证明以高概率，一棵树的谱与一棵非同构树共享。
• 刻画线性偏好连接模型中最大特征值的联合极限分布，并通过 $ n^{1/2\gamma_a} $ 进行缩放。

提出的方法

• 利用概率邻域收敛——一种随机树集合的局部弱收敛形式——分析谱极限。
• 应用厄米特矩阵主子矩阵特征值的交错不等式，将局部树结构与谱行为关联。
• 采用简化版的Karp-Sipser算法，构造并分析随机树中的最大匹配。
• 通过组合恒等式，将邻接矩阵的零特征值数量与最大匹配的大小联系起来。
• 利用灯夫群的凯莱图上的生成函数与矩阵幂，计算极限谱测度的矩。
• 应用灯夫群的表示理论，分析矩阵幂并推导谱矩表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当顶点数趋于无穷时，大随机树邻接矩阵的经验谱分布是否弱收敛于确定性极限？
• RQ2 随机树中零特征值数量的极限行为如何？其与最大匹配大小有何关系？
• RQ3 在具有独立同分布非负边权且期望有限的随机树中，最大加权匹配的总权重是否可渐近表征为顶点数的常数倍？
• RQ4 在大随机树模型中，随机树与非同构树共享谱的概率是多少？
• RQ5 在线性偏好连接模型中，邻接矩阵的最大特征值如何渐近行为？在适当缩放后，其联合极限分布为何？

主要发现

• 在多种随机树模型中，邻接矩阵的经验谱分布随着顶点数趋于无穷，弱收敛于确定性极限。
• 对于线性偏好连接、递归树和均匀树等模型，极限谱测度在实轴上具有稠密集的原子。
• 邻接矩阵中零特征值的比例依分布收敛于常数，其极限由树中最大匹配的大小决定。
• 对于具有有限均值的独立同分布非负边权，最大加权匹配的总权重渐近等价于顶点数的常数倍。
• 以趋于1的概率，参数 $ a > -1 $ 的线性偏好连接模型中的随机树，其谱与一棵非同构树共享。
• 线性偏好连接模型中前 $ k $ 个最大特征值，经 $ n^{1/2\gamma_a} $ 缩放（其中 $ \gamma_a = a+2 $）后，联合依分布收敛于非退化极限。