[论文解读] Spectra Originated from Fredholm Theory and Browder's Theorem

Mohamed Amouch, Mohamed Karmouni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过证明伪 B-Weyl 谱与广义 Drazin 谱相等，建立了 Browder 定理的新刻画。此外，证明了伪 B-Fredholm 谱与伪 B-Weyl 谱在可交换 Riesz 干扰下保持稳定，通过广义 Kato 分解与 Fredholm 型分解，将巴拿赫空间算子的谱理论结果进一步拓展。

ABSTRACT

We give a new characterization of Browders theorem through equality between the pseudo B-Weyl spectrum and the generalized Drazin spectrum. Also, we will give conditions under which pseudo B-Fredholm and pseudo B-Weyl spectrum introduced in [11] and [30] become stable under commuting Riesz perturbations.

研究动机与目标

• 通过伪 B-Weyl 谱与广义 Drazin 谱相等，提供 Browder 定理的新谱刻画。
• 研究伪 B-Fredholm 谱与伪 B-Weyl 谱在可交换 Riesz 干扰下的稳定性。
• 通过分析具有广义 Kato 分解的算子的扰动，将巴拿赫空间中的谱理论结果加以拓展。
• 将现有关于 Fredholm 与 Weyl 谱的结果推广至伪 B-Fredholm 与伪 B-Weyl 设置。
• 建立本质谱集（如半正则谱与本质半正则谱）与广义 Kato 谱重合的条件。

提出的方法

• 利用广义 Kato 分解（GKD）通过巴拿赫空间的不变分解，定义伪 Fredholm、伪 B-Fredholm 与伪 B-Weyl 算子。
• 应用 Fredholm 理论与 Browder 定理，分析本质谱、Weyl 谱与 B-Weyl 谱等谱集。
• 运用 Riesz 算子与可交换扰动的概念，研究谱的稳定性，特别是准幂零与 Riesz 扰动下的情形。
• 利用谱半径公式与算子分解，证明当 $T$ 为伪 B-Fredholm 且 $S$ 在准幂零部分上由恒等算子构造时，乘积 $TS$ 为准幂零。
• 应用关于 Weyl 算子 $T_1 + \nu F_1$ 可逆性的已知结果，构造扰动 $F$，使得对所有 $\nu \neq 0$，$T + \nu F$ 可逆。
• 通过直和分解与谱不变性，建立关键恒等式 $[T,F]q(T,F)[T,F] = 0$，其中 $q$ 为 $T$ 与 $F$ 的多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时伪 B-Weyl 谱与广义 Drazin 谱重合？
• RQ2 在何种条件下，伪 B-Fredholm 与伪 B-Weyl 谱在可交换 Riesz 扰动下保持稳定？
• RQ3 广义 Kato 分解如何与巴拿赫空间中算子的谱相关联？
• RQ4 半正则谱与广义 Kato 谱之间存在何种关系？
• RQ5 一个伪 B-Fredholm 算子能否通过一个可交换算子的扰动，变为 Fredholm 或半正则算子？

主要发现

• 伪 B-Weyl 谱等于广义 Drazin 谱当且仅当该算子满足 Browder 定理。
• 广义 Kato 谱 $\sigma_{gK}(T)$ 是紧集，且包含于 $\sigma(T)$ 中，且对准幂零算子可能为空集。
• 对一个单边加权右移算子 $T$，若满足 $\liminf_{n\to\infty} (w_1\cdots w_n)^{1/n} = 0$，则所有本质谱均等于闭圆盘 $\mathbf{D}(0, r(T))$，且对任意与 $T$ 可交换的准幂零算子 $Q$，有 $\sigma_{gK}(T+Q) = \sigma_{gK}(T)$。
• 若 $T$ 为伪 B-Fredholm 算子，则存在一个可交换算子 $S$，使得 $T+S$ 为 Fredholm 算子，且 $TS$ 为准幂零算子。
• 若 $T$ 为伪 Fredholm 算子，则存在一个可交换算子 $S$，使得 $T+S$ 为半正则算子，且 $TS$ 为准幂零算子。
• 对一个伪 B-Weyl 算子 $T$，存在一个算子 $F$，使得对所有 $\lambda \neq 0$，$T + \lambda F$ 可逆，且对任意 $T$ 与 $F$ 的多项式 $q$，有 $[T,F]q(T,F)[T,F] = 0$。