[论文解读] Spectral Analysis of Piezoelectric Tensors

Yannan Chen, Antal Jákli+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 1被引用 15

一句话总结

本文为压电型张量（即在最后两个指标上对称的三阶实张量）引入了C-特征值与C-特征向量，证明了其存在性及在正交变换下的不变性。最大C-特征值对应于最优秩一逼近，物理上代表最大压电耦合系数，可确定在直接和逆压电效应中单位应力下的最大电位移以及单位电场下的最大应变。

ABSTRACT

A third order real tensor is called a piezoelectric-type tensor if it is partially symmetric with respect to its last two indices. The piezoelectric tensor is a piezoelectric-type tensor of dimension three. We introduce C-eigenvalues and C-eigenvectors for piezoelectric-type tensors. Here, "C" names after Curie brothers, who first discovered the piezoelectric effect. We show that C-eigenvalues always exist, they are invariant under orthonormal transformations, and for a piezoelectric-type tensor, the largest C-eigenvalue and its C-eigenvectors form the best rank-one piezoelectric-type approximation of that tensor. This means that for the piezoelectric tensor, its largest C-eigenvalue determines the highest piezoelectric coupling constant. We further show that for the piezoelectric tensor, the largest C-eigenvalue corresponds to the electric displacement vector with the largest $2$-norm in the piezoelectric effect under unit uniaxial stress, and the strain tensor with the largest $2$-norm in the converse piezoelectric effect under unit electric field vector. Thus, C-eigenvalues and C-eigenvectors have concrete physical meanings in piezoelectric effect and converse piezoelectric effect. Finally, we apply C-eigenvalues and associated C-eigenvectors for various piezoelectric crystals with different symmetries.

研究动机与目标

• 为在最后两个指标上具有对称性的压电张量定义一种具有物理意义的谱分解。
• 建立C-特征值在正交变换下的存在性与不变性，确保其在不同坐标系中的一致性。
• 证明最大C-特征值对应于压电张量的最优秩一逼近。
• 将C-特征值与C-特征向量与直接和逆压电效应中的可测量物理量联系起来。
• 在具有不同对称性的各类晶系中计算并分析C-特征值与C-特征向量。

提出的方法

• 将压电型张量定义为在最后两个指标上对称的三阶实张量，其独立分量总数为 $\frac{1}{2}n^2(n+1)$（维度为 $n$）。
• 通过方程组 $a_{ijk}x_j y_k = \lambda x_i$，$a_{ijk}x_j y_k = \lambda y_k$ 及 $\|\mathbf{x}\|_2 = \|\mathbf{y}\|_2 = 1$ 定义C-特征值问题，其中 $\lambda$ 为C-特征值。
• 通过最大化问题 $\lambda^* = \max \{ \mathbf{x} \mathcal{A} \mathbf{y} \mathbf{y} : \|\mathbf{x}\|_2 = 1, \|\mathbf{y}\|_2 = 1 \}$ 求解最大C-特征值。
• 证明最大C-特征值可提供压电张量的最优秩一逼近，使Frobenius范数误差最小化。
• 通过证明目标函数在正交变换下保持不变，建立C-特征值在正交变换下的不变性。
• 将C-特征值与张量重排为 $3 \times 6$ 矩阵后的矩阵奇异值进行比较，表明二者不等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为压电张量定义一种能反映其在直接和逆压电效应中物理行为的有意义谱分解？
• RQ2 最大C-特征值是否在Frobenius范数意义下对应于压电张量的最优秩一逼近？
• RQ3 最大C-特征值是否在坐标系的正交变换下保持不变？
• RQ4 最大C-特征值是否识别出在直接压电效应中单位单轴应力下最大电位移的方向？
• RQ5 最大C-特征值是否识别出在逆压电效应中单位电场下最大应变的方向？

主要发现

• 压电张量的最大C-特征值对应于在直接压电效应中单位单轴应力下电位移向量的 $L^2$-范数最大值。
• 最大C-特征值对应于在逆压电效应中单位电场下应变张量的 $L^2$-范数最大值。
• 对于张量 $\mathcal{A}_0$ 满足 $a_{112} = a_{222} = 1$，其最大C-特征值为 $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$，严格小于其 $3 \times 6$ 矩阵表示的最大奇异值 $\sqrt{2} \approx 1.4142$。
• C-特征值在正交变换下保持不变，确保了在不同参考系中的物理一致性。
• C-特征值系统至少存在一个非零解，且任意压电型张量的最大C-特征值始终存在。
• 最大C-特征值在Frobenius范数下提供了压电张量的最优秩一逼近，使逼近误差最小化。