[论文解读] Spectral Analysis of Product Formulas for Quantum Simulation

Changhao Yi, Elizabeth Crosson|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文对由一阶 Lie-Trotter 乘积公式生成的有效哈密顿量进行了谱分析，表明当初始态为能量本征态或处于窄能带内时，相位估计算法与数字绝热模拟中的 Trotter 误差显著降低。通过分析本征值与本征态的微扰，作者展示了更优的缩放关系：在量子相位估计算法中，Trotter 步长可从 𝒪(ε) 提升至 𝒪(ε^{1/2})；在数字绝热模拟中，从 𝒪(M^{-1}) 提升至 𝒪(M^{-2})，且存在一个最优步长可平衡绝热与 Trotter 误差。

ABSTRACT

We consider Hamiltonian simulation using the first order Lie-Trotter product formula under the assumption that the initial state has a high overlap with an energy eigenstate, or a collection of eigenstates in a narrow energy band. This assumption is motivated by quantum phase estimation (QPE) and digital adiabatic simulation (DAS). Treating the effective Hamiltonian that generates the Trotterized time evolution using rigorous perturbative methods, we show that the Trotter step size needed to estimate an energy eigenvalue within precision $ε$ using QPE can be improved in scaling from $ε$ to $ε^{1/2}$ for a large class of systems (including any Hamiltonian which can be decomposed as a sum of local terms or commuting layers that each have real-valued matrix elements). For DAS we improve the asymptotic scaling of the Trotter error with the total number of gates $M$ from $\mathcal{O}(M^{-1})$ to $\mathcal{O}(M^{-2})$, and for any fixed circuit depth we calculate an approximately optimal step size that balances the error contributions from Trotterization and the adiabatic approximation. These results partially generalize to diabatic processes, which remain in a narrow energy band separated from the rest of the spectrum by a gap, thereby contributing to the explanation of the observed similarities between the quantum approximate optimization algorithm and diabatic quantum annealing at small system sizes. Our analysis depends on the perturbation of eigenvectors as well as eigenvalues, and on quantifying the error using state fidelity (instead of the matrix norm of the difference of unitaries which is sensitive to an overall global phase).

研究动机与目标

• 通过分析一阶 Lie-Trotter 公式生成的有效哈密顿量，改进量子相位估计算法（QPE）与数字绝热模拟（DAS）中的 Trotter 步长缩放。
• 通过关注初始态接近能量本征态时的态保真度与相位误差，克服基于算子范数的误差界局限性。
• 利用有效哈密顿量 𝒯H 的谱微扰理论，推导更紧的误差界，尤其在 H 的本征基下一阶微扰为零时。
• 针对固定电路深度 M，识别出可平衡 Trotter 误差与绝热近似误差的近似最优 Trotter 步长。
• 将洞察推广至具有能隙的窄能带中的非绝热过程，解释 QAOA 与非绝热量子退火在小系统尺寸下的相似性。

提出的方法

• 有效哈密顿量 𝒯H 定义为 𝒯H ≡ i log(T(δt))/δt，其中 T(δt) 为一阶乘积公式近似。
• 应用微扰方法比较原始哈密顿量 H 的谱 {Ek, |ψk⟩} 与有效哈密顿量 𝒯H 的谱，重点关注本征值与本征态的修正。
• 通过保真度而非酉算子范数来量化误差，避免对全局相位的敏感性，使用相位误差 θ 与保真度误差 f 表示误差。
• 在 QPE 中，当 H 的本征基下一阶微扰为零时，相位误差缩放为 𝒪(Lδt³)，而非 𝒪(Lδt²)。
• 在 DAS 中，将绝热定理应用于有效哈密顿量以界定向保真度误差，从而实现总门限数 M 的 𝒪(M^{-2}) 缩放。
• 通过最小化总误差，推导出最优时间参数 Tc，平衡绝热与 Trotter 误差，其中 Tc = 2MD/(3C1)，且 εopt = 𝒪(DC1/(Mλ³))。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始态为能量本征态时，量子相位估计算法中的 Trotter 步长能否超越 𝒪(ε)？
• RQ2 当 H 的本征基下一阶微扰项消失时，是否可在相位估计算法中实现 Trotter 误差的高阶降低？
• RQ3 对于固定电路深度 M，数字绝热模拟中 Trotter 误差与绝热近似误差之间存在何种最优权衡？
• RQ4 有效哈密顿量 𝒯H 的谱分析如何导致比标准算子范数估计更紧的误差界，尤其在特定态的模拟中？
• RQ5 有效哈密顿量方法能否推广至具有能隙系统的非绝热过程，从而解释 QAOA 与非绝热量子退火之间的观测相似性？

主要发现

• 当 H 的本征基下一阶微扰为零时，量子相位估计算法中的相位误差缩放为 𝒪(Lδt³)，而非 𝒪(Lδt²)，从而可实现精度 ε 下的步长 𝒪(ε^{1/2})。
• 数字绝热模拟中的总误差在门限数 M 上缩放为 𝒪(M^{-2})，优于先前的 𝒪(M^{-1}) 缩放。
• 最优时间参数 Tc = 2MD/(3C1) 可平衡绝热与 Trotter 误差，最小化总误差界。
• 最优误差 εopt 受限于 𝒪(DC1/(Mλ³))，其中 D 与 C1 为与哈密顿量谱性质及有效哈密顿量微扰相关的常数。
• 对于目标误差 ε，所需电路深度缩放为 𝒪(NDC1/(λ³ε))，表明 DAS 的门复杂度得到改善。
• 该分析通过表明两者均保持在由能隙分隔的窄能带内，解释了小系统尺寸下 QAOA 与非绝热量子退火之间的观测相似性。