[论文解读] Spectral approximation of aperiodic Schrödinger operators

Siegfried Beckus|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 67被引用 8

一句话总结

本论文通过利用算子范数 $\|p(A_t, A_t^*)\|$ 的一致 Hölder 连续性，对谱映射 $\Sigma: T \to K(\mathbb{C})$, $t \mapsto \sigma(A_t)$ 的连续性进行刻画，建立了非周期性 Schrödinger 算子的谱连续性。关键结果表明，广义 Schrödinger 算子的谱在底层动力系统的扰动下连续变化，从而可通过符号动力学中的通用动力系统与词典构造实现周期算子的逼近。

ABSTRACT

We study the (Hölder-)continuous behavior of the spectra belonging to a family of linear bounded operators $(A_t)_{t\in T}$ indexed by a topological space $T$. For the cases of self-adjoint, unitary and normal operators, a characterization of the continuity of $Σ:T o \mathcal{K}(\mathbb{R}), t\mapsto σ(A_t),$ is proven while the distance of the spectra is measured by the Hausorff metric. If $T$ is a metric space, the Hölder-continuous behavior of $Σ$ is characterized for self-adjoint and unitary operators. Here we observe interesting effects, namely the rate of convergence is bisect whenever spectral gaps closes. Based on this, we provide a tool to prove the continuity of the spectra for large classes of operators. In particular, we apply this theory to generalized Schrödinger operators and show that the continuity of the spectra is characterized by the continuous variation of the underlying dynamical systems. Finally, we analyze the existence of periodic dynamical systems approximating a given dynamical system. This leads to periodic approximations of the corresponding Schrödinger operators by the previously developed theory. We prove that local symmetries of the patterns and the presence of a substitution is a sufficient criteria for periodic approximations of subshifts in $\mathbb{Z}^d$. For $d=1$, a characterization is proven for the existence of periodic approximations. For these approaches, the notion of a dictionary is further developed and defined independently of a given configuration. We prove that the set of dictionaries equipped with the local pattern topology is homeomorphic to the space of subshifts. This yields a useful tool to analyze these systems. Furthermore, it delivers the connection of the existence of periodic orbits in a subshift of finite type and the existence of periodic approximations for subshifts.

研究动机与目标

• 解决非周期性、高维设置下非周期性 Schrödinger 算子的谱连续性挑战。
• 对一族算子 $A_t$ 的谱映射 $\Sigma: T \to K(\mathbb{C})$, $t \mapsto \sigma(A_t)$ 的连续性进行刻画。
• 建立在动力系统扰动下谱隙不开启或不关闭的条件。
• 为使用周期逼近算子逼近广义 Schrödinger 算子提供一个通用框架。
• 将 Schrödinger 算子的谱行为与动力系统中不变集的拓扑结构联系起来。

提出的方法

• 使用 $\mathbb{C}$ 的紧子集上的 Hausdorff 距离定义谱的收敛性。
• 通过复多项式 $p$ 的算子范数 $\|p(A_t, A_t^*)\|$ 的一致 Hölder 连续性刻画 $\Sigma$ 的连续性。
• 应用连续 $C^*$-代数丛的成果，特别是 [LR01] 中的框架，将谱连续性与 $C^*$-代数结构联系起来。
• 构造通用动力系统 $(X_u, G, \alpha)$ 及其关联的通用群丛 $\Gamma_u$，以编码拓扑与动力学数据。
• 在符号动力学中引入“词典”概念，通过局部模式参数化不变子集。
• 利用 Tietze 定理与 Urysohn 定理构造具有紧支集的连续函数，从而实现逼近技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过算子范数行为刻画一族算子 $A_t$ 的谱连续性？
• RQ2 在底层动力系统扰动下，谱隙保持开启或连续关闭的条件是什么？
• RQ3 非周期性、高维系统上的广义 Schrödinger 算子能否通过谱收敛的周期算子逼近？
• RQ4 不变子集 $Y \in IG(X)$ 的拓扑结构如何与 $H_Y$ 的谱行为相关联？
• RQ5 子移位系统中周期元素的稠密集存在性是否与通过周期算子实现谱逼近相关？

主要发现

• 谱映射 $\Sigma: IG(X) \to K(\mathbb{C})$, $Y \mapsto \sigma(H_Y)$ 关于 $\mathbb{C}$ 的紧子集上的 Hausdorff 距离是连续的。
• 当且仅当 $\sigma(H_{Y_n}) \to \sigma(H_Y)$ 在 Hausdorff 距离下收敛时，不变集序列 $Y_n \to Y$ 在 Hausdorff 拓扑下收敛。
• 子移位系统中广义 Schrödinger 算子可在强算子拓扑下被周期 Schrödinger 算子逼近。
• 当底层动力系统在不变集上的 Hausdorff 拓扑下收敛时，谱收敛得以保证。
• 通用动力系统的构造及其群丛结构确保 $C^*$-代数 $C^*(A_t, I_t)$ 构成一个连续的 $C^*$-代数丛。
• 谱连续性成立当且仅当 $C^*$-代数 $C^*(A_t, I_t)$ 构成一个连续丛，从而提供了深刻的结构性刻画。