[论文解读] Spectral asymptotics for sub-Riemannian Laplacians

Yves Colin de Verdìère, Luc Hillairet+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文在一般次黎曼（sR）结构中建立了局部与微局部 Weyl 定律的小时间渐近性，通过内在几何方法推导出谱渐近性。它将 Weyl 测度识别为一个规范的 sR 几何对象，证明了在等秩、幂零化可及及非解析 sR 情况下的局部 Weyl 定律，并建立了量子遍历性结果，利用次解析几何与热核分析，将经典 Weyl 渐近性推广至奇异及非解析 sR 几何。

ABSTRACT

We study spectral properties of sub-Riemannian Laplacians, which are hypoelliptic operators. The main objective is to obtain quantum ergodicity results, what we have achieved in the 3D contact case. In the general case we study the small-time asymptotics of sub-Riemannian heat kernels. We prove that they are given by the nilpotentized heat kernel. In the equiregular case, we infer the local and microlocal Weyl law, putting in light the Weyl measure in sR geometry. This measure coincides with the Popp measure in low dimension but differs from it in general. We prove that spectral concentration occurs on the shief generated by Lie brackets of length r-1, where r is the degree of nonholonomy. In the singular case, like Martinet or Grushin, the situation is more involved but we obtain small-time asymptotic expansions of the heat kernel and the Weyl law in some cases. Finally, we give the Weyl law in the general singular case, under the assumption that the singular set is stratifiable.

研究动机与目标

• 推导一般次黎曼结构中局部与微局部 Weyl 定律的小时间渐近性。
• 将 Weyl 测度识别为次黎曼结构内在的规范几何对象。
• 将经典 Weyl 渐近性推广至奇异、非解析及不可幂零化的 sR 几何。
• 建立奇异集上 sR 拉普拉斯算子的量子遍历性性质。
• 通过 Karamata Tauber 定理，提供谱计数函数的几何与内在表征。

提出的方法

• 利用热核的小时间渐近性与 Karamata Tauber 定理推导局部 Weyl 定律。
• 引入局部 Weyl 测度作为次黎曼几何中的新规范测度，在等秩情况下等价于 Popp 测度。
• 应用次解析几何与胞分解方法处理非解析 sR 结构，特别是不可幂零化的情形。
• 采用双重幂零化程序分析奇异 sR 结构，如 Baouendi-Grushin 与 Martinet 型结构。
• 利用积分的 Hadamard 有限部分提取奇异情形下的主导谱渐近性。
• 应用依赖参数的 sR 热核估计与微局部分析，推导微局部 Weyl 定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般次黎曼结构中，特别是当 sR 列层为奇异时，局部与微局部 Weyl 定律的行为如何？
• RQ2 在次黎曼几何中，Weyl 测度的内在几何本质是什么？它与 Popp 测度有何关系？
• RQ3 能否利用次解析几何在非解析或不可幂零化的 sR 结构中推导出谱渐近性？
• RQ4 在 Baouendi-Grushin 与 Martinet 型奇异集上，sR 拉普拉斯算子的量子遍历性性质是什么？
• RQ5 在存在奇点与非一致增长的情况下，谱计数函数的渐近行为如何？

主要发现

• 局部 Weyl 测度被识别为规范的 sR 对象，在等秩情形下等价于 Popp 测度。
• 在等秩幂零化可及情形下，建立了局部 Weyl 定律，其主项与幂零化 sR 球体积成正比，并给出了精确的渐近展开。
• 在 Baouendi-Grushin 与 Martinet 情形下，量子遍历性成立，但量子极限集中于奇异集，反映出特征流形的几何结构。
• 在非解析 sR 情形下，利用次解析胞分解与热核的去奇化处理，推导出局部 Weyl 定律，关键引理确保了热核奇点的可积性。
• 谱计数函数满足 Weyl 定律，其主项与 sR 球体积成正比，校正项依赖于奇异集的幂零化与分层结构。
• 通过微局部 Weyl 定律与热核迹的有限部分，ζ 函数与正规化行列式与谱渐近性相关联。