[论文解读] Spectral Bayesian Regression on the Sphere

Claudio Durastanti|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2026

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一句话总结

本论文为单位球面上的函数建立了一套完备的内在贝叶斯非参数回归框架，使用各向同性高斯场先验与球面谐函数对角化，得到闭形式后验与尖锐的收缩结果。

ABSTRACT

We develop a fully intrinsic Bayesian framework for nonparametric regression on the unit sphere based on isotropic Gaussian field priors and the harmonic structure induced by the Laplace-Beltrami operator. Under uniform random design, the regression model admits an exact diagonalization in the spherical harmonic basis, yielding a Gaussian sequence representation with frequency-dependent multiplicities. Exploiting this structure, we derive closed-form posterior distributions, optimal spectral truncation schemes, and sharp posterior contraction rates under integrated squared loss. For Gaussian priors with polynomially decaying angular power spectra, including spherical Matérn priors, we establish posterior contraction rates over Sobolev classes, which are minimax-optimal under correct prior calibration. We further show that the posterior mean admits an exact variational characterization as a geometrically intrinsic penalized least-squares estimator, equivalent to a Laplace-Beltrami smoothing spline.

研究动机与目标

• 在非欧几里得领域，特别是单位球面，推动贝叶斯非参数回归并利用其谐结构。
• 引入球面各向同性高斯场先验并利用拉普拉斯–贝尔特拉米算子特征结构。
• 开发一个在统一随机设计下可在球面谐函数中实现精确对角化的回归模型。
• 推导闭形式后验分布、谱截断规则与尖锐的后验收缩率。
• 将贝叶斯回归与谱正则化及通过拉普拉斯–贝尔特拉米算子实现的内在平滑联系起来。

提出的方法

• 使用在球面谐函数基下对协方差对角化的各向同性高斯场先验，从而得到具有乘法性 M_{d,ℓ} ∝ ℓ^{d-1} 的高斯序列表示。
• 将先验表示为拉普拉斯–贝尔特拉米算子的函数算子：T = ψ(-Δ_{S^d})，其中 ψ(λ_ℓ) = C_ℓ。
• 采用角谱 C_ℓ 的多项式衰减 C_ℓ ≍ (1+λ_ℓ)^{-α} 来建模球面上的麦登型先验。
• 在均匀随机设计下建立非参数回归模型，以获得后验分析的精确对角化高斯序列。
• 推导闭形式的后验分布、最优谱截断方案以及对 Sobolev 型函数类的收缩率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单位球面上利用球面谐函数进行内在化地贝叶斯非参数回归？
• RQ2 在球面上使用带有麦登型谱的各向同性高斯场先验时，后验、截断规则和收缩率会是什么？
• RQ3 拉普拉斯–贝尔特拉米算子如何支配球面高斯过程回归中的正则化与光滑性？
• RQ4 后验均值是否可以被变分地刻画为球面上的内在光滑样条？

主要发现

• 在统一设计下的球面回归模型在球面谐函数基下具有精确高斯序列表示。
• 在内在球面设定下，后验分布、最优谱截断与尖锐的收缩率均以闭形式获得。
• 对于多项式衰减的角谱（麦登型先验），后验收缩率在 Sobolev 类上是极小极大最优，且先验校准正确。
• 后验均值具有严格的变分表征，作为一种几何内在的惩罚最小二乘估计，等价于拉普拉斯–贝尔特拉米平滑样条。
• 该框架阐明了高斯过程回归、Sobolev 正则化以及流形上的拉普拉斯–贝尔特拉米平滑之间的等价关系。