[论文解读] Spectral clustering of Markov chain transition matrices with complex eigenvalues

Anna-Simone Frank, Alexander Sikorski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2022

Bayesian Methods and Mixture Models被引用 4

一句话总结

该论文提出cPCCA+，一种谱聚类方法，通过将复共轭特征向量分解为实部和虚部分量，将鲁棒Perron聚类分析（PCCA+）扩展至具有复特征值的马尔可夫链，从而实现对非可逆随机过程（如环形链和基因调控网络）的高效且精确的粗粒化。该方法在MATLAB中运行速度显著快于GenPCCA，同时保持了相当的准确性，原因在于避免了计算成本高昂的Schur分解。

ABSTRACT

The Robust Perron Cluster Analysis (PCCA+) has become a popular spectral clustering algorithm for coarse-graining transition matrices of nearly decomposable Markov chains with transition states. Originally developed for reversible Markov chains, the algorithm only worked for transition matrices with real eigenvalues. In this paper, we therefore extend the theoretical framework of PCCA+ to Markov chains with a complex eigen-decomposition. We show that by replacing a complex conjugate pair of eigenvectors by their real and imaginary components, a real representation of the same subspace is obtained, which is suitable for the cluster analysis. We show that our approach leads to the same results as the generalized PCCA+ (GenPCCA), which replaces the complex eigen-decomposition by a conceptually more difficult real Schur decomposition. We apply the method on non-reversible Markov chains, including circular chains,and demonstrate its efficiency compared to GenPCCA. The experiments are performed in the Matlab programming language and codes are provided.

研究动机与目标

• 将PCCA+的适用范围从具有实特征值的可逆马尔可夫链扩展至具有复特征值的非可逆链。
• 解决GenPCCA在MATLAB中计算效率低下的问题，特别是由于直接使用Schur分解和排序算法所致。
• 为具有复特征值分解的转移矩阵谱聚类，提供一种理论合理且计算高效的GenPCCA替代方法。
• 在真实世界示例（包括环形转移矩阵和随机基因调控网络）中展示该方法的有效性。

提出的方法

• 将复共轭特征向量对替换为其实部和虚部分量，以形成适合聚类分析的实子空间表示。
• 在实值子空间上应用标准PCCA+聚类框架，保持PCCA+所要求的不变子空间条件，以识别亚稳态。
• 通过转移矩阵P的特征分解提取主导特征值和特征向量，包括复共轭对。
• 确保所得粗粒化转移矩阵P_c满足PCCA+要求的宏观态间转移缓慢、宏观态内转移迅速的特性。
• 在MATLAB中实现该算法，并与使用Schur分解和排序算法的GenPCCA进行性能比较。
• 在合成环形链和随机基因调控网络模型上验证该方法，测量运行时间和准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过复特征空间的实值表示，将PCCA+扩展至处理具有复特征值的马尔可夫链？
• RQ2 将复特征向量的实部和虚部分离所形成的实子空间，是否保持了谱聚类所必需的不变子空间条件？
• RQ3 在MATLAB中，随着状态空间规模增大，cPCCA+与GenPCCA的计算性能相比如何？
• RQ4 cPCCA+能否准确识别非可逆系统（如环形链和基因调控网络）中的亚稳态？

主要发现

• cPCCA+通过将复特征向量转换为实部分量，成功将PCCA+扩展至具有复特征值的非可逆马尔可夫链，且未损失准确性。
• 在使用复特征向量的实部和虚部分量时，该方法保持了不变子空间条件，确保了有效的聚类分配。
• cPCCA+在环形转移矩阵和基因调控网络模型上与GenPCCA具有相当的聚类准确性。
• cPCCA+在MATLAB中显著快于GenPCCA，尤其在较大状态空间下，原因在于避免了直接的Schur分解和排序操作。
• 在基因调控网络示例中，cPCCA+与GenPCCA的运行时间差异随状态空间大小呈二次增长，且cPCCA+始终表现更优。
• 该方法对矩阵元素的微小扰动具有鲁棒性，因为此类矩阵通常可进行特征分解，使该方法在实际中具有可行性。