[论文解读] Spectral density of the quantum Ising model in two fields: Gaussian and multi-Gaussian approximations

Y. Y. Atas, E. Bogomolny|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Quantum many-body systems参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究了有限但较大的自旋系统在两个场（横向和纵向）下的量子伊辛模型的谱密度。提出了高斯和多高斯近似来描述谱密度，表明尽管主体行为符合高斯形式，但在某些耦合极限下强烈的简并性导致了多峰结构。主要贡献是提出一种简单的解析方法，通过高斯函数之和来近似多峰谱密度，该方法经数值结果验证。

ABSTRACT

Spectral density of quantum Ising model in two fields for large but finite number of spins $N$, is discussed in detail. When all coupling constants are of the same order, spectral densities in the bulk are well approximated by a Gaussian function which is typical behaviour for many-body models with short-range interactions. The main part of the paper is devoted to the investigation of a different characteristic case when spectral densities have peaks related with strong degeneracies of unperturbed states in certain limits of coupling constants. In the strict limit $N o\infty$, peaks overlap and disappear but for values of $N$ accessible in numerical calculations they often strongly influence spectral densities and other quantities as well. A simple method is developed which permits to find general approximation formulae for multi-peak structure of spectral density in good agreement with numerics.

研究动机与目标

• 理解在有限但较大的 N 下，双场量子伊辛模型的谱密度，特别是当标准高斯近似因简并性而失效时的情况。
• 识别并表征由耦合常数特定极限下强简并性引起的高斯谱密度的非普遍性修正。
• 开发一种简单的解析方法，用于在不完全对角化哈密顿量的前提下近似多峰谱密度。
• 通过不同耦合常数和系统尺寸下的数值计算，验证所提出的近似方法。

提出的方法

• 使用带有横向和纵向场的量子伊辛哈密顿量，对具有周期性边界条件的自旋-1/2系统进行建模。
• 在小耦合极限（λ ≪ 1）下应用微扰理论，计算从无扰动态态之间跃迁引起的能量修正。
• 利用二项式系数等组合函数，推导出具有特定构型（n, m, k）的态数的解析表达式。
• 通过二阶微扰理论构建平均能量位移 ΔE_n,k(α,λ)，并纳入单自旋翻转和自旋对翻转的贡献。
• 通过将基于无扰动能级和跃迁计数导出的参数（均值、方差）的高斯函数求和，提出多高斯近似。
• 通过将解析近似与有限 N 下通过完全对角化获得的精确谱密度进行比较，对方法进行了数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限但较大的 N 下，双场量子伊辛模型的谱密度如何偏离普遍的高斯形式？
• RQ2 当耦合常数调制到特定值时，谱密度中为何会出现明显的峰？
• RQ3 能否开发一种简单的解析方法，在不完全对角化哈密顿量的前提下近似多峰谱密度？
• RQ4 无扰动谱中的简并性如何影响热力学极限和有限 N 下的谱密度？
• RQ5 在强简并性存在的情况下，微扰修正在多大程度上能准确描述谱结构？

主要发现

• 对于有限但较大的 N，当所有耦合常数数量级为 1 时，量子伊辛模型在主体区域的谱密度可良好地用高斯函数近似，与具有短程相互作用的多体系统中的普遍行为一致。
• 在某些耦合常数极限下，无扰动谱中的强简并性导致谱密度中出现明显的峰，这些峰在可访问的有限 N 下依然存在，尽管在严格 N→∞ 极限下会消失。
• 本文推导出具有特定自旋构型（n, m, k）的态数的解析表达式，使用了组合函数如 C_{n-1}^{k-1} 和 C_{m-1}^{k-1}，这些表达式对计算能级计数和跃迁概率至关重要。
• 平均能量位移 ΔE_n,k(α,λ) 以 λ 的二阶计算，其贡献来自单自旋翻转和自旋对翻转，并以涉及 n_j 和 m_j 构型的组合求和形式表达。
• 通过解析导出参数的高斯函数之和构成的多高斯近似，在各种耦合常数和系统尺寸下与数值谱密度表现出极佳的一致性。
• 该方法成功捕捉了多峰谱密度的结构，而无需完全对角化，仅通过哈密顿量结构即可高效预测谱特征。