[论文解读] Spectral estimates for Ruelle transfer operators with two parameters and applications

Vesselin Petkov, Luchezar Stoyanov|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文在势函数满足 Hölder 和 Lipschitz 正则性条件下，为带有两个复参数 $ s $ 和 $ z $ 的 Ruelle 转移算子建立了谱估计。证明了算子范数在垂直方向上的指数衰减，从而实现了 zeta 函数 $ \zeta(s,z) $ 到区域 $ \operatorname{Re}(s) < P_f $ 的非零解析延拓，且在 $ s = s(z) $ 处具有单极点，并将这些结果应用于 Hannay-Ozorio de Almeida 求和公式以及加权本原周期的渐近计数。

ABSTRACT

For $C^2$ weak mixing Axiom A flow $\\phi_t: M \\longrightarrow M$ on a Riemannian manifold $M$ and a basic set $\\Lambda$ for $\\phi_t$ we consider the Ruelle transfer operator $L_{f - s \ au + z g}$, where $f$ and $g$ are real-valued H\\"older functions on $\\Lambda$, $\ au$ is the roof function and $s, z$ are complex parameters. Under some assumptions about $\\phi_t$ we establish estimates for the iterations of this Ruelle operator in the spirit of the estimates for operators with one complex parameter (see \\cite{D}, \\cite{St2}, \\cite{St3}). Two cases are covered: (i) for arbitrary H\\"older $f,g$ when $|\\Im z| \\leq B |\\Im s|^\\mu$ for some constants $B &gt; 0$, $0 &lt; \\mu &lt; 1$ ($\\mu = 1$ for Lipschitz $f,g$), (ii) for Lipschitz $f,g$ when $|\\Im s| \\leq B_1 |\\Im z|$ for some constant $B &gt; 0$ . Applying these estimates, we obtain a non zero analytic extension of the zeta function $\\zeta(s, z)$ for $P_f - \\epsilon &lt; \\Re (s) &lt; P_f$ and $|z|$ small enough with simple pole at $s = s(z)$. Two other applications are considered as well: the first concerns the Hannay-Ozorio de Almeida sum formula, while the second deals with the asymptotic of the counting function $\\pi_F(T)$ for weighted primitive periods of the flow $\\phi_t.$

研究动机与目标

• 在势函数满足 Hölder 和 Lipschitz 正则性条件下，为带有两个复参数 $ s, z \in \mathbb{C} $ 的 Ruelle 转移算子 $ L_{f - s\tau + zg} $ 建立一致的谱估计。
• 将 zeta 函数 $ \zeta(s,z) $ 的解析延拓扩展至临界线 $ \operatorname{Re}(s) = P_f $ 之外，证明其具有非零延拓，并在 $ s = s(z) $ 处具有单极点。
• 将谱估计应用于改进 Hannay-Ozorio de Almeida 求和公式，并推导本原周期加权计数函数 $ \pi_F(T) $ 的渐近估计。
• 在受控虚部增长条件下，将一参数谱估计（来自 [4], [20], [21]）推广至双参数情形。

提出的方法

• 使用马尔可夫划分 $ \mathcal{R} = \{R_i\} $ 及其关联的庞加莱映射 $ \mathcal{P} $，将流建模为子移位上的悬垂流。
• 在 Hölder 连续函数上构造一个转移算子 $ \mathcal{L}_{abtz} $，其权值为 $ |b|^{-\epsilon} $，确保一致衰减 $ \|\mathcal{L}_{abtz}^n h\|_{\beta,b} \leq C_3 |b|^\epsilon \rho_1^n $。
• 通过依赖参数的权值，利用 $ C^\beta $-范数，将原始 Ruelle 算子 $ L_{f - (P+a+ib)\tau + zg} $ 近似为一列算子 $ L_{f_t - (P+a+ib)\tau + zg_t} $。
• 通过 Hölder 连续性估计差值 $ |f^n - f_t^n|_\beta $ 和 $ |g^n - g_t^n|_\beta $，其有界于 $ C_4 n a_0 $，其中 $ a_0 \to 0 $ 控制误差增长。
• 通过控制虚部增长 $ |\operatorname{Im} z| \leq B |\operatorname{Im} s|^\mu $，其中 $ \mu < 1 $，且对 Lipschitz 势函数取 $ \mu = 1 $。
• 利用谱间隙和指数衰减 $ \rho_3^n $（其中 $ \rho_3 < 1 $），结合 $ |b|^\epsilon $-加权，推导出 $ \|L^n_{f - (P+a+ib)\tau + zg} h\|_{\beta,b} \leq C_8 \rho^n |b|^\epsilon \|h\|_{\beta,b} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Hölder 正则性和受控虚部增长条件下，能否为带有两个复参数的 Ruelle 算子建立谱估计？
• RQ2 动力 zeta 函数 $ \zeta(s,z) $ 是否能超越 $ \operatorname{Re}(s) = P_f $ 实现非零解析延拓？其奇点性质如何？
• RQ3 谱估计如何在 Axiom A 流背景下改进 Hannay-Ozorio de Almeida 求和公式？
• RQ4 在两个势函数影响下，本原周期的加权计数函数 $ \pi_F(T) $ 的渐近行为如何？

主要发现

• 在条件 $ |\operatorname{Im} z| \leq B |\operatorname{Im} s|^\mu $ 且 $ \mu < 1 $ 下，Ruelle 转移算子的算子范数满足 $ \|L^n_{f - (P+a+ib)\tau + zg} h\|_{\beta,b} \leq C_8 \rho^n |b|^\epsilon \|h\|_{\beta,b} $，其中 $ \rho < 1 $，且对所有 $ n $ 一致成立。
• 对 Lipschitz 势函数，当 $ |\operatorname{Im} s| \leq B_1 |\operatorname{Im} z| $ 时，估计成立，且谱衰减在两个参数间均一致。
• zeta 函数 $ \zeta(s,z) $ 可解析延拓至区域 $ P_f - \epsilon < \operatorname{Re}(s) < P_f $ 且 $ |z| $ 较小时，且在 $ s = s(z) $ 处具有单极点。
• 谱估计允许通过 $ |b|^\epsilon $-加权范数控制误差项，从而改进 Hannay-Ozorio de Almeida 求和公式。
• 加权计数函数 $ \pi_F(T) $ 的渐近行为满足 $ \pi_F(T) \sim \frac{e^{P_f T}}{P_f T} $，包含低阶修正项，其来源于 $ \zeta(s,z) $ 的解析性质。
• 结果将先前的一参数谱估计（如 [20], [21]）推广至双参数情形，并对 $ s $ 和 $ z $ 的虚部增长实现了显式控制。