[论文解读] Spectral extrema of graphs with fixed size: cycles and complete bipartite graphs

Mingqing Zhai, Huiqiu Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2021

Graph theory and applications参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文研究了在固定大小 $m$ 的图中，图的谱半径 $ ho(G)$ 满足何种谱条件时，图会包含特定子图，特别是环和完全二部图。通过分析谱半径 $ ho(G)$，本文建立了精确的阈值：$ ho(G) \geq \sqrt{m}$ 意味着图包含 $K_{2,r+1}$ 或 $C_3^+$、$C_4^+$，除非图是星图或完全二部图；$ ho(G) \geq \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ 意味着图包含五边形和六边形，除非图是书图；$ ho(G) > \frac{1}{2}(k - \frac{1}{2}) + \sqrt{m + \frac{1}{4}(k - \frac{1}{2})^2}$ 意味着图包含所有长度不超过 $2k+2$ 的环 $C_t$，且极值图被确定为完全分裂图。

ABSTRACT

Nikiforov [Some inequalities for the largest eigenvalue of a graph, Combin. Probab. Comput. 179--189] showed that if $G$ is $K_{r+1}$-free then the spectral radius $ρ(G)\leq\sqrt{2m(1-1/r)}$, which implies that $G$ contains $C_3$ if $ρ(G)>\sqrt{m}$. In this paper, we follow this direction on determining which subgraphs will be contained in $G$ if $ρ(G)> f(m)$, where $f(m)\sim\sqrt{m}$ as $m ightarrow \infty$. We first show that if $ρ(G)\geq \sqrt{m}$, then $G$ contains $K_{2,r+1}$ unless $G$ is a star; and $G$ contains either $C_3^+$ or $C_4^+$ unless $G$ is a complete bipartite graph, where $C_t^+$ denotes the graph obtained from $C_t$ and $C_3$ by identifying an edge. Secondly, we prove that if $ρ(G)\geq{\frac12+\sqrt{m-\frac34}}$, then $G$ contains pentagon and hexagon unless $G$ is a book; and if $ρ(G)>{\frac12(k-\frac12)+\sqrt{m+\frac14(k-\frac12)^2}}$, then $G$ contains $C_t$ for every $t\leq 2k+2$. In the end, some related conjectures are provided for further research.

研究动机与目标

• 确定图在固定边数 $m$ 下，迫使特定子图（环、完全二部图）存在的谱半径阈值。
• 将 Nikiforov 的谱 Turán 结果从固定顶点数推广至固定边数。
• 识别在 $C_3$、$C_4$、$C_5$、$C_6$ 及连续环的谱界中取等号的极值图。
• 提出并支持关于连续环存在性及 $B_{r+1}$-自由图的谱条件的猜想。

提出的方法

• 分析具有 $m$ 条边且无孤立顶点的图的邻接矩阵的谱半径 $\rho(G)$。
• 利用极值图论与特征值交错技术，推导出 $\mathcal{F}$-自由图的 $\rho(G)$ 上界。
• 应用 Perron-Frobenius 定理与特征向量分析，刻画在谱界中取等号的极值图。
• 引入图 $S_{n,k}$（完全分裂图）作为环存在性阈值的极值图。
• 使用函数 $f(A(G)) = A^2(G) - \frac{1}{2}(2k-1)A(G)$，通过列和将谱半径与路径及环的存在性关联。
• 利用引理 5.1（Erdős–Gallai）关于路径极值数的结果，证明 $G[N(j^*)]$ 包含 $P_{2k+1}$，从而推出存在所有长度 $t \leq 2k+2$ 的环 $C_t$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图大小为 $m$ 时，何种谱半径阈值可强制图中出现 $K_{2,r+1}$？
• RQ2 在图大小为 $m$ 时，何种谱条件可保证图中同时包含 $C_5$ 和 $C_6$？
• RQ3 何种谱界可保证图中包含所有长度 $t \leq 2k+2$ 的环 $C_t$？
• RQ4 哪些图在 $\{C_3^+, C_4^+\}$-自由或 $K_{2,r+1}$-自由图中达到谱界 $\rho(G) \leq \sqrt{m}$ 的等号？
• RQ5 谱半径阈值 $\sqrt{m}$ 是否可保留在 $B_{r+1}$-自由图中，且等号仅在完全二部图时成立？

主要发现

• 若 $\rho(G) \geq \sqrt{m}$，则图包含 $K_{2,r+1}$，除非图是星图，当 $m \geq 16r^2$ 时成立。
• 若 $\rho(G) \geq \sqrt{m}$，则图包含 $C_3^+$ 或 $C_4^+$，除非图是完全二部图或 $S_7^3$、$S_8^2$、$S_9^1$ 之一，当 $m \geq 9$ 时成立。
• 若 $\rho(G) \geq \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$，则图同时包含 $C_5$ 和 $C_6$，除非 $G \cong S_{(m+3)/2, 2}$，当 $m \geq 8$ 时成立。
• 若 $\rho(G) > \frac{1}{2}(k - \frac{1}{2}) + \sqrt{m + \frac{1}{4}(k - \frac{1}{2})^2}$，则图包含所有长度 $t \leq 2k+2$ 的环 $C_t$，且当 $k=2$ 时等号仅在 $S_{(m+3)/2, 2}$ 时成立。
• 达到谱界 $\rho(G) = \frac{1}{2} + \sqrt{m - \frac{3}{4}}$ 的极值图是书图 $S_{(m+3)/2, 2}$，证实了该界的紧致性。
• 猜想 5.1 提出 $\rho(G) \geq \frac{k-1 + \sqrt{4m - k^2 + 1}}{2}$ 可强制图中包含所有长度 $t \leq 2k+2$ 的环 $C_t$，除非 $G \cong S_{m/k + (k+1)/2, k}$，该结果可推广至一般 $k$。