[论文解读] Spectral-free estimation of L\\'evy densities in high-frequency regime

Céline Duval, Ester Mariucci|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文提出了一种无需谱方法的、基于路径的高斯小波估计器，用于高频率设置下 Lévy 密度的估计，避免了对 Lévy–Khintchine 公式的依赖。该方法在有限变差和无限变差 Lévy 过程的 Besov 球上均实现了最优非参数收敛速率，对零点处的奇点和布朗运动分量的存在均表现出鲁棒性。

ABSTRACT

We construct an estimator of the L\\'evy density of a pure jump L\\'evy process, possibly of infinite variation, from the discrete observation of one trajectory at high frequency. The novelty of our procedure is that we directly estimate the L\\'evy density relying on a pathwise strategy, whereas existing procedures rely on spectral techniques. By taking advantage of a compound Poisson approximation, we circumvent the use of spectral techniques and in particular of the L\\'evy--Khintchine formula. A linear wavelet estimator is built and its performance is studied in terms of $L_p$ loss functions, $p\\geq 1$, over Besov balls. We recover classical nonparametric rates for finite variation L\\'evy processes and for a large nonparametric class of symmetric infinite variation L\\'evy processes. We show that the procedure is robust when the estimation set gets close to the critical value 0 and also discuss its robustness to the presence of a Brownian part.

研究动机与目标

• 提出一种非谱的、基于路径的方法，用于从纯跳 Lévy 过程的高频率离散采样中估计 Lévy 密度。
• 克服谱方法的局限性——特别是对 Lévy–Khintchine 公式的依赖——从而可应用于更丰富的跳跃过程类别。
• 在有限和无限变差 Lévy 过程的 Besov 球上，以 $L_p$ 损失为度量，建立理论性能保证。
• 确保当估计域趋近于零点的临界奇点时，以及在存在布朗运动分量的情况下，估计器具有鲁棒性。

提出的方法

• 使用复合泊松过程对 Lévy 过程进行近似，作为替代谱分解的基础工具。
• 基于 dyadic 区间内的跳跃次数，构建一个基于路径性质的线性小波估计器。
• 将估计问题分解为零点附近的局部区域 $A(\rho)$，并应用小波系数来估计密度 $f$。
• 通过小波阈值化和矩界控制偏差与方差，利用 $\mathbb{E}[\widehat{\lambda}_{n,\varepsilon}] \approx \lambda_\varepsilon$ 的事实。
• 应用集中不等式和条件矩界（通过引理 5）来处理随机截断和采样变异性。
• 利用无穷可分分布与复合泊松测度之间的渐近等价性（[33] 中推论 8.8）来证明近似策略的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用谱方法的情况下实现 Lévy 密度估计，特别是避免使用 Lévy–Khintchine 公式？
• RQ2 在高频率采样下，通过基于路径的小波方法对 Lévy 密度进行 $L_p$ 估计，可以达到什么样的非参数收敛速率？
• RQ3 该估计器在无限变差 Lévy 过程中表现如何，特别是在密度可能发散的原点附近？
• RQ4 当存在布朗运动分量或估计域趋近于零时，估计器是否具有鲁棒性？

主要发现

• 所提出的基于小波的估计器在有限变差 Lévy 过程的 Besov 球上，实现了经典的非参数收敛速率 $2^{-2Js}$。
• 对于一大类对称的无限变差 Lévy 过程，估计器达到了最优速率 $2^{-2Js}$，与极小极大下界一致。
• 当估计窗口 $A(\rho)$ 趋近于原点时，估计器仍保持鲁棒性，误差通过依赖 $\varepsilon$ 的范数和矩界得到控制。
• 该方法对布朗运动分量的存在具有鲁棒性，表现为 Lévy 三元组扰动下 $L_p$ 风险的稳定性。
• 理论界以小波分辨率 $J$、样本大小 $n$ 和截断水平 $\varepsilon$ 表示了 $L_p$ 风险的界，明确依赖于 $\mathbf{n}(\varepsilon)$ 和 $\widetilde{\bm{n}}(\varepsilon)$。
• 误差分解为偏差与方差两部分，其中方差项通过矩不等式和条件期望界得到控制。