[论文解读] Spectral Inequalities For Anisotropic Shubin Operators

Jérémy Martin|arXiv (Cornell University)|May 24, 2022

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文利用Gelfand-Shilov空间中的不确定性原理和Bernstein型估计，为各向异性Shubin算子的有限组合特征函数建立了新的谱不等式。证明了对于这些算子关联的演化方程，只要控制集具有正的Lebesgue测度，即可在任意正时间实现零控性，但不包括谐振子情形。

ABSTRACT

In this paper, new spectral inequalities for finite combinations of eigenfunctions of anisotropic Shubin operators are presented. Given a subset $ω$ and an energy level, we provide an explicit control of the ratio of the L 2 (R d)-norm over the L 2 ($ω$)-norm with respect to the energy level. The proofs are based on recent uncertainty principles holding in Gelfand-Shilov spaces and Bernstein type estimates deduced from quantitative smoothing effects proved by Paul Alphonse. These spectral inequalities allow to derive the null-controllability in any positive time from any control subset with positive Lebesgue measure of evolution equations associated to anisotropic Shubin operators, except for the harmonic oscillator.

研究动机与目标

• 为各向异性Shubin算子的有限维谱投影建立定量谱不等式。
• 将已知的谱不等式结果从谐振子情形推广至一般各向异性Shubin算子（$k,m \geq 1$）的情形。
• 通过可观测性与谱估计，推导这些算子所控制的演化方程的零控性结果。
• 提供谱常数的显式、定量界，其依赖于控制集的几何结构与算子参数。
• 利用Gelfand-Shilov正则性与改进的不确定性原理，将现有关于稠密集与弱稠密集的结果推广至各向异性情形。

提出的方法

• 利用Gelfand-Shilov空间中近期获得的不确定性原理，控制特征函数的集中性。
• 应用Paul Alphonse关于Shubin算子定量光滑效应所导出的新Bernstein型估计。
• 使用关于密度 $\rho(x) = R\langle x\rangle^\delta$ 的 $\delta$-弱稠密集概念，刻画控制集。
• 应用Hilbert唯一性方法，将伴随系统的可观测性与正向系统的零控性联系起来。
• 应用定理6.4（Beauchard, Egidi & Pravda-Starov）从谱不等式与耗散不等式推导可观测性估计。
• 将谱投影估计与可测子集上的 $L^2$-范数控制相结合，建立主要不等式 $\|f\|_{L^2} \leq C_{k,m,\lambda}(\omega)\|f\|_{L^2(\omega)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 各向异性Shubin算子的有限组合特征函数的最优谱不等式是什么？
• RQ2 谱常数如何依赖于控制集 $\omega$ 的几何结构与参数 $k,m$？
• RQ3 能否为与各向异性Shubin算子关联的演化方程，从正Lebesgue测度的集合中建立零控性？
• RQ4 Gelfand-Shilov正则性与不确定性原理在推导此类谱估计中起什么作用？
• RQ5 结果如何从谐振子情形（$k=m=1$）推广至一般 $k,m \geq 1$？

主要发现

• 本文为各向异性Shubin算子有限谱投影中的函数 $f$ 建立了形式为 $\|f\|_{L^2} \leq C_{k,m,\lambda}(\omega)\|f\|_{L^2(\omega)}$ 的谱不等式。
• 对于关于 $\rho(x) = R\langle x\rangle^\delta$ 的 $\delta$-弱稠密集，谱常数满足 $C_{k,m,\lambda}(\omega) \leq C(8^\nu e^\nu A)^{\lambda^{\delta}}$，其中 $\nu, \mu > 0$，且对 $k,m,\lambda$ 有显式依赖关系。
• 对于 $H_{k,m}$ 关联的演化方程，只要控制集 $\omega$ 具有正Lebesgue测度，即可在任意正时间实现零控性，但不包括谐振子情形（$k=m=1$）。
• 结果在较弱的几何假设下，推广了关于谐振子的已有工作，提供了谱常数的显式、定量界。
• 关键技术创新在于将Gelfand-Shilov不确定性原理与来自定量光滑效应的改进型Bernstein型估计相结合。
• 证明依赖于通过Hilbert唯一性方法建立的可观测性与零控性之间的等价性，以及应用定理6.4推导指数型可观测性估计。