[论文解读] Spectral interpretations of dynamical degrees and applications

Nguyen-Bac Dang, Charles Favre|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明了射影代数簇上理性映射的动态度是自然定义在高余维循环 b-类 Banach 空间上的算子的谱半径。通过构建一个推广 Picard-Manin 空间的 Banach 空间并证明 Hodge 指数定理与紧致性结果，作者表明在条件 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 下，迭代的度增长被精确控制，从而得出 $\mathbb{A}^3$ 自同构的动态度为代数数的结论。

ABSTRACT

We prove that dynamical degrees of rational self-maps on projective varieties can be interpreted as spectral radii of naturally defined operators on suitable Banach spaces. Generalizing Shokurov's notion of b-divisors, we consider the space of b-classes of higher codimension cycles, and endow this space with various Banach norms. Building on these constructions, we design a natural extension to higher dimensions of the Picard-Manin space introduced by Cantat and Boucksom-Favre-Jonsson in the case of surfaces. We prove a version of the Hodge index theorem, and a surprising compactness result in this Banach space. We use these two theorems to infer a precise control of the sequence of degrees of iterates of a map under the assumption that the square of the first dynamical degree is strictly larger than the second dynamical degree. As a consequence, we obtain that the dynamical degrees of an automorphism of the affine 3-space are all algebraic numbers.

研究动机与目标

• 将动态度解释为高余维循环 b-类 Banach 空间上算子的谱半径。
• 通过 b-除子与 Banach 范数，将 Picard-Manin 空间推广至高维。
• 在 Banach 空间设定下证明 Hodge 指数定理与紧致性结果，以支持谱分析。
• 在条件 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 下控制迭代度的增长。
• 确立 $\mathbb{A}^3$ 自同构的动态度为代数数。

提出的方法

• 构造具有 Banach 范数 $\|\cdot\|_{\operatorname{BPF}}$ 的余维-$k$ 循环的数值 b-类空间 $\operatorname{N}_{\operatorname{BPF}}^k(\mathcal{X})$。
• 通过无限提升上的极限构造引入 Banach 空间 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$，推广 Picard-Manin 空间。
• 在 $\mathcal{F}_{\Sigma}(\mathcal{X})$ 上定义配对，并利用它在该设定下建立 Hodge 指数定理。
• 证明在谱间隙条件 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 下，$\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 中单位球的相对紧致性。
• 利用 Banach 空间上有界算子的谱理论分析 $f^*$ 在 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 上的作用，将谱半径识别为 $\lambda_1(f)$。
• 将谱分析应用于 $\mathbb{P}^d$ 上的分式理想层，将其与度增长及赋值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有理映射的动态度解释为高余维循环 b-类 Banach 空间上算子的谱半径？
• RQ2 在数值 b-类的 Banach 空间中，Hodge 指数定理与紧致性结果是否成立？
• RQ3 条件 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 如何控制迭代度的渐近增长？
• RQ4 能否利用 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 中的谱间隙证明动态度的代数性？
• RQ5 $\mathbb{A}^3$ 自同构的动态度是否为代数数？

主要发现

• 动态度 $\lambda_1(f)$ 等于拉回算子 $f^*$ 在 Banach 空间 $\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 上的谱半径。
• 在空间 $\mathcal{F}_{\Sigma}(\mathcal{X})$ 中成立 Hodge 指数定理，确保 b-除子的交比理论具有良好行为。
• 在条件 $\lambda_1(f)^2 > \lambda_2(f)$ 下，$\operatorname{N^1_{\Sigma}}(\mathcal{X})$ 中的单位球是相对紧致的，从而支持谱分析。
• 在 $\lambda_1^2 > \lambda_2$ 条件下，度序列 $\deg_{1,{\omega}}(f^n)$ 满足 $\deg_{1,{\omega}}(f^n) = C \lambda_1(f)^n + O(\lambda_1(f)^{n/2})$，其中 $C > 0$。
• 通过谱分解定义的泛函 $L_\star$ 是一个满足 $v_\star(\phi \circ f) = \lambda_1(f) v_\star(\phi)$ 的赋值，对所有多项式 $\phi$ 成立，从而确认了谱行为。
• 作为推论，$\mathbb{A}^3$ 自同构的动态度为代数数。