[论文解读] Spectral invariants with bulk, quasimorphisms and Lagrangian Floer theory

Kenji Fukaya, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 83被引用 13

一句话总结

本文在辛拓扑中引入了批量形变的谱不变量，通过环境循环的量子上同调形变，扩展了哈密顿弗洛尔同调与谱不变量。它建立了谱不变量、辛拟态、拟同态与拉格朗日子流形弗洛尔理论之间的新联系，证明了在紧致辛流形上存在不可数无穷多个独立的拟同态，以及新的拉格朗日子流形交点结果，特别是在 $S^2 \times S^2$ 和环面流形中。

ABSTRACT

In this paper we first develop various enhancements of the theory of spectral invariants of Hamiltonian Floer homology and of Entovi-Polterovich theory of spectral symplectic quasi-states and quasimorphisms by incorporating \emph{bulk deformations}, i.e., deformations by ambient cycles of symplectic manifolds, of the Floer homology and quantum cohomology. Essentially the same kind of construction is independently carried out by Usher [Us4] in a slightly less general context. Then we explore various applications of these enhancements to the symplectic topology, especially new construction of symplectic quasi-states, quasimorphisms and new Lagrangian intersection results on toric manifolds. The most novel part of this paper is to use open-closed Gromov-Witten theory (operator $\frak q$ in [FOOO1] and its variant involving closed orbits of periodic Hamiltonian system) to connect spectral invariants (with bulk deformation), symplectic quasi-states, quasimorphism to the Lagrangian Floer theory (with bulk deformation). We use this open-closed Gromov-Witten theory to produce new examples. Especially using the calculation of Lagrangian Floer homology with bulk deformation in [FOOO3,FOOO4], we produce examples of compact toric manifolds $(M,ω)$ which admits uncountably many independent quasimorphisms $\widetilde{\operatorname{Ham}}(M,ω) o \mathbb R$. We also obtain a new intersection result of Lagrangian submanifolds on $S^2 imes S^2$ discovered in [FOOO6]. Many of these applications were announced in [FOOO3,FOOO4,FOOO6].

研究动机与目标

• 通过使用环境循环，将谱不变量与辛拓扑中的拟态理论进行批量形变扩展。
• 通过开-闭格罗莫夫-威滕-弗洛尔理论，在具有批量的谱不变量与拉格朗日子流形弗洛尔同调之间建立桥梁。
• 利用批量形变的谱不变量构造新的辛拟态与拟同态。
• 在环面与非环面辛流形中，包括 $S^2 \times S^2$，证明新的拉格朗日子流形交点结果。
• 通过批量形变的弗洛尔上同调，展示在紧致辛流形上存在不可数无穷多个独立拟同态。

提出的方法

• 利用大量子上同调与环境循环，发展批量形变的哈密顿弗洛尔同调与谱不变量。
• 应用开-闭格罗莫夫-威滕-弗洛尔理论（算子 $\mathfrak{q}$）将具有批量的谱不变量与拉格朗日子流形弗洛尔上同调联系起来。
• 使用皮尤尼欣同构及其乘法性质，证明谱不变量的三角不等式与 $C^0$-连续性。
• 利用庞加莱对偶性与弗洛尔同调之间的对偶性，将谱不变量与拟同态构造联系起来。
• 应用带有批量形变的西德尔同态，检测谱不变量，并将其与 $c_1(M)$ 的特征值联系起来。
• 利用滤子 $A_\infty$-代数的霍赫希尔德上同调，通过代数结构检测谱不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过环境循环在辛流形中使用批量形变来增强谱不变量？
• RQ2 开-闭格罗莫夫-威滕-弗洛尔理论在连接具有批量的谱不变量与拉格朗日子流形弗洛尔理论中起什么作用？
• RQ3 是否可以使用批量形变的谱不变量来构造新的辛拟态与拟同态？
• RQ4 在非环面与环面流形中，批量形变的弗洛尔上同调会产生哪些新的拉格朗日子流形交点结果？
• RQ5 在紧致辛流形上，所得拟同态的基数与独立性结构如何？

主要发现

• 本文通过批量形变的谱不变量，证明了在紧致辛流形上存在不可数无穷多个独立的拟同态 $\widetilde{\text{Ham}}(M,\omega) \to \mathbb{R}$。
• 在 $S^2 \times S^2$ 中，建立了关于拉格朗日环面 $T(\rho)$ 的新拉格朗日子流形交点结果，通过谱不变量证明其为超重。
• 通过极限存在性与部分拟同态性质，严格证明了通过谱不变量与批量形变构造的部分辛拟态 $\zeta_e^\mathfrak{b}$ 的合理性。
• 本文提供了拟同态 $\mu_e^\mathfrak{b}$ 的缺陷估计，量化了其与同态的偏离程度。
• 证明了在批量形变下，环面流形中的拉格朗日纤维是 $\mu_e^\mathfrak{b}$-重的，从而在环面流形上存在卡勒拟同态。
• 谱不变量检测到第一陈类 $c_1(M)$ 的临界值与特征值，将拓扑不变量与辛几何联系起来。