[论文解读] Spectral mapping theorem of an abstract quantum walk

Yusuke Higuchi, Etsuo Segawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文利用朱科夫斯基变换，为抽象量子行走建立了谱映射定理，将希尔伯特空间上酉演化算子 $U$ 的谱与其实对称判别算子 $T$ 的谱联系起来。关键结果将谱映射定理推广至无限图，证明了 $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$，并完全刻画了西尔皮ński格栅上格罗弗行走的谱，其为纯点谱且具有康托尔-like 结构。

ABSTRACT

Given two Hilbert spaces, $\mathcal{H}$ and $\mathcal{K}$, we introduce an abstract unitary operator $U$ on $\mathcal{H}$ and its discriminant $T$ on $\mathcal{K}$ induced by a coisometry from $\mathcal{H}$ to $\mathcal{K}$ and a unitary involution on $\mathcal{H}$. In a particular case, these operators $U$ and $T$ become the evolution operator of the Szegedy walk on a graph, possibly infinite, and the transition probability operator thereon. We show the spectral mapping theorem between $U$ and $T$ via the Joukowsky transform. Using this result, we have completely detemined the spectrum of the Grover walk on the Sierpiński lattice, which is pure point and has a Cantor-like structure.

研究动机与目标

• 将 Szegedy 型量子行走的谱映射定理从有限图推广至无限图。
• 通过朱科夫斯基变换，建立酉演化算子 $U$ 与其判别自伴算子 $T$ 之间严格的谱对应关系。
• 刻画西尔皮ński格栅上格罗弗行走的谱，证明其为纯点谱且具有康托尔-like 结构。
• 利用抽象希尔伯特空间算子，将量子行走谱分析的应用范围从有限图扩展至一般无限图。
• 阐明量子行走谱与系统随机长期行为之间的关系。

提出的方法

• 在希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上定义一个抽象酉算子 $U = S(2d_A^*d_A - 1)$，其中 $S$ 为酉对合算子，$d_A$ 为到 $\mathcal{K}$ 的共等距映射。
• 引入判别算子 $T = d_A S d_A^*$，其为 $\mathcal{K}$ 上的自伴压缩算子。
• 应用朱科夫斯基变换 $\varphi(x) = (x + x^{-1})/2$，通过 $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ 建立 $U$ 与 $T$ 谱之间的关系。
• 利用谱论与函数演算，推导点谱与连续谱之间的谱对应关系。
• 通过构造近似特征向量并利用谱的闭性，分析连续谱。
• 将该框架应用于西尔皮ński格栅，证明格罗弗行走的谱为纯点谱且具有康托尔-like 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将演化算子 $U$ 与判别算子 $T$ 之间的谱映射定理，从有限图推广至无限图？
• RQ2 无限图上格罗弗行走的谱与底层对称随机行走谱之间的确切关系是什么？
• RQ3 西尔皮ński格栅上的格罗弗行走是否表现出局域化？若是，其谱的性质如何？
• RQ4 $U$ 的特征值 $\pm 1$ 如何产生？其重数如何用 $d_A$ 与 $S$ 的核空间表示？
• RQ5 能否通过朱科夫斯基变换，利用 $T$ 的连续谱完全刻画 $U$ 的连续谱？

主要发现

• 谱映射定理 $\sigma(U) = \varphi^{-1}(\sigma(T)) \cup \{1\}^{M_+} \cup \{-1\}^{M_-}$ 对一般无限图成立，不仅限于有限图。
• 西尔皮ński格栅上格罗弗行走的谱被证明为纯点谱，且具有康托尔-like 结构。
• $U$ 的连续谱满足 $\sigma_{\sharp}(U) = \varphi^{-1}(\sigma_{\sharp}(T))$（$\sharp = \text{c, ac, sc}$），将谱对应关系扩展至连续部分。
• $U$ 中特征值 $\pm 1$ 的重数由 $\dim \ker(d_A) \cap \ker(S \pm 1)$ 决定，并给出了特征子空间维数的显式公式。
• 若 $T$ 无连续谱（例如，当 $T$ 仅有纯点谱时），则 $U$ 也仅有纯点谱，从而导致局域化。
• 对于西尔皮ński格栅，由于 $T$ 仅有纯点谱，因此诱导的格罗弗行走 $U$ 也仅有纯点谱，证实了所有初态下的局域化。