[论文解读] Spectral measures generated by arbitrary and random convolutions

Dorin Ervin Dutkay, Chun‐Kit Lai|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文将 Strichartz 关于由 Hadamard 三元组生成的无限卷积离散测度的谱测度准则进行推广，证明在某些条件下，此类测度为谱测度。此外，还表明在一维或特定高维条件下，对有限原子测度进行缩放后的‘几乎所有’随机卷积会产生谱测度或平移瓷砖。

ABSTRACT

We study spectral measures generated by infinite convolution products of discrete measures generated by Hadamard triples, and we present sufficient conditions for the measures to be spectral, generalizing a criterion by Strichartz. We then study the spectral measures generated by random convolutions of finite atomic measures and rescaling, where the digits are chosen from a finite collection of digit sets. We show that in dimension one, or in higher dimensions under certain conditions, "almost all" such measures generate spectral measures, or, in the case of complete digit sets, translational tiles. Our proofs are based on the study of self-affine spectral measures and tiles generated by Hadamard triples in quasi-product form.

研究动机与目标

• 将 Strichartz 关于由 Hadamard 三元组生成的无限卷积离散测度的谱测度准则进行推广。
• 研究从有限个数字集选择并进行缩放后形成的随机卷积的谱性质。
• 建立此类随机卷积在 1 维或更高维下生成谱测度或平移瓷砖的条件。
• 通过拟积形式的 Hadamard 三元组，扩展自仿射谱测度与瓷砖的理论。
• 通过 Ruelle 转移算子和极端循环的动力不变性，证明谱的完备性。

提出的方法

• 将无限卷积测度 μ 定义为由 Hadamard 三元组 (R_i, B_i, L_i) 衍生的缩放离散测度的乘积的弱极限。
• 通过公式 Λ = L₁ + R₁ᵀL₂ + R₁ᵀR₂ᵀL₃ + ⋯ 构造一个无限相互正交集 Λ，作为候选谱。
• 使用 Ruelle 转移算子 Rf(ξ) = ∑_{ℓ∈L} |m_B(τ_ℓ(ξ))|² f(τ_ℓ(ξ)) 分析指数系的完备性。
• 应用引理 4.3，确保映射 τ_ℓ(ξ) = (Rᵀ)⁻¹(ξ + ℓ) 将大球映射到自身，从而支持紧致性论证。
• 通过证明 Q_Λ(ξ) = ∑_λ∈Λ |μ̂(ξ+λ)|² ≥ 1，利用 Ruelle 算子下最小紧致集的不变性以及系统的动力简洁性，证明完备性。
• 利用极端循环包含于 Λ 中，且具有离散零点集的整函数必为常数这一事实，得出 Q_Λ ≡ 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由 Hadamard 三元组生成的离散测度的无限卷积为谱测度？
• RQ2 在 1 维或更高维下，能否保证对有限个数字集进行随机卷积后，其谱性质成立？
• RQ3 极端循环的动力结构如何与自仿射测度中谱的完备性相关联？
• RQ4 Ruelle 转移算子在验证指数系完备性方面起什么作用？
• RQ5 在何种情况下，原子测度的随机卷积会生成平移瓷砖或谱测度？

主要发现

• 本文将 Strichartz 关于谱测度的准则推广至任意 Hadamard 三元组序列，为无限卷积为谱测度提供了充分条件。
• 在一维情况下，对有限个数字集进行随机卷积，在较弱假设下，‘几乎所有’此类测度均为谱测度。
• 在高维情况下，当附加条件成立（如完全数字集）时，‘几乎所有’此类随机卷积会生成平移瓷砖。
• 谱的完备性通过 Ruelle 转移算子及 τ_ℓ 动力下最小紧致集的不变性得以确立。
• 证明依赖于：任何 Q_Λ 零点集中最小不变集必为离散集，故为极端循环，从而强制 Q_Λ ≡ 1。
• 结果表明，谱性质在随机卷积中具有普遍性，扩展了已知的自仿射谱测度结果。