[论文解读] Spectral norm of a symmetric tensor and its computation

Shmuel Friedland, Li Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新方法，通过从张量梯度导出的多项式映射的不动点来计算对称张量的谱范数。当 $n=2$ 时，谱范数在 $d$ 上是多项式可计算的；对于固定的 $n>2$，它相对于希尔伯特-施密特范数是多项式可计算的，从而实现了对对称量子态几何纠缠度量的高效计算。

ABSTRACT

We show that the spectral norm of a $d$-mode real or complex symmetric tensor in $n$ variables can be computed by finding the fixed points of the corresponding polynomial map. For a generic complex symmetric tensor the number of fixed points is finite, and we give upper and lower bounds for the number of fixed points. For $n=2$ we show that these fixed points are the roots of a corresponding univariate polynomial of degree at most $(d-1)^2+1$, except certain cases, which are completely analyzed. In particular, for $n=2$ the spectral norm of $d$-symmetric tensor is polynomially computable in $d$ with a given relative precision. For a fixed $n>2$ we show that the spectral norm of a $d$-mode symmetric tensor is polynomially computable in $d$ with a given relative precision with respect to the Hilbert-Schmidt norm of the tensor. These results show that the geometric measure of entanglement of $d$-mode symmetric qunits on $\mathbb{C}^n$ are polynomially computable for a fixed $n$.

研究动机与目标

• 开发一种高效的对称张量谱范数计算方法，因为该范数通常难以计算。
• 建立谱范数与导出多项式映射不动点之间的联系，从而实现代数计算。
• 证明对于固定的 $n$，$d$-模对称张量的谱范数在 $d$ 上相对于希尔伯特-施密特范数是多项式可计算的。
• 将该方法应用于计算对称量子态的几何纠缠度量，特别是 $d$-模对称量子比特和量子三重态。
• 分析复数和实数情况下不动点的数量与结构，特别是针对 $n=2$ 和 $n=3$ 的情况。

提出的方法

• 从与对称张量相关的齐次多项式 $f$ 定义梯度映射 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{1}{d}\nabla f(\mathbf{x})$。
• 构造迭代映射 $\mathbf{H}(\mathbf{x}) = \overline{\mathbf{F}(\overline{\mathbf{F}(\mathbf{x})})}$，其不动点对应于谱范数的临界点。
• 利用代数几何方法证明，对于一般 $f$，映射 $\mathbf{H}$ 的不动点数量为 $ (d-1)^{2n} $（按重数计数）。
• 当 $n=2$ 时，将问题约化为求解次数至多为 $ (d-1)^2 + 1 $ 的单变量多项式，从而实现多项式时间计算。
• 应用数值代数几何工具（如 Bertini）在具体例子中计算不动点和谱范数。
• 利用超行列式簇 $\mathrm{H}(d,n)$ 来刻画一般性，并确保不动点为有限且孤立。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过多项式映射的不动点而非优化方法来计算对称张量的谱范数？
• RQ2 对于一般对称张量，映射 $\mathbf{H}$ 的不动点数量是多少？它与张量的次数和维度有何关系？
• RQ3 对于固定的 $n$，$\mathbb{C}^n$ 上的 $d$-模对称张量的谱范数是否在 $d$ 上是多项式可计算的？
• RQ4 映射 $\mathbf{F}$ 的实不动点数量与实谱范数有何关系？这对纠缠度量有何含义？
• RQ5 能否利用这种代数方法高效计算对称量子态的几何纠缠度量？

主要发现

• 当 $n=2$ 时，$d$-模对称张量的谱范数在 $d$ 上是多项式可计算的，且具有给定的相对精度，因为不动点可约化为次数至多为 $ (d-1)^2 + 1 $ 的单变量多项式根。
• 对于一般复对称张量，映射 $\mathbf{H}$ 的不动点数量为 $ (d-1)^{2n} $（按重数计数），且这些点足以计算谱范数。
• 当 $n=3$ 时，对于一般实参数，映射 $\mathbf{F}$ 的实不动点数量为 $8 = (3-1)^3 $，但 Dicke 态 $\mathcal{S}(3,3)$ 除外，其仅有 5 个实不动点。
• Dicke 态 $\mathcal{S}(3,3)$（对应于 $f_{0,\sqrt{6}}$）达到最小谱范数 $ \frac{\sqrt{2}}{3} \approx 0.4714 $，表明最大纠缠。
• 当 $n=2$ 时，$f_e$ 在 $t=1$，$\omega = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 时的谱范数约为 $0.5840$，通过不动点求解计算得出。
• 在对称的 4-四重态族中，当 $a = \frac{\sqrt{6}}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)$，$b = \frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$ 时，范数 $\|f_{a,b}\|_{\sigma}$ 达到 $0.4714$，超过 W 态乘积的范数 $\|\mathcal{W} \otimes \mathcal{W}\|_{\sigma} = \frac{4}{9} \approx 0.4444$。