[论文解读] Spectral Planting and the Hardness of Refuting Cuts, Colorability, and Communities in Random Graphs

Afonso S. Bandeira, Jess Banks+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 59被引用 13

一句话总结

本文提出了一种谱播种技术，通过构造具有计算上‘安静’的嵌入着色或割结构的随机正则图，使这些图在谱方法和局部统计方法下难以与典型随机图区分。该研究通过表明标准算法即使在显著改变图的色数和割大小的情况下也无法有效检测到嵌入结构，为稀疏随机图中反驳 $k$-可着色性和 $k$-割最大化问题的平均情况下困难性提供了有力证据。

ABSTRACT

We study the problem of efficiently refuting the k-colorability of a graph, or equivalently certifying a lower bound on its chromatic number. We give formal evidence of average-case computational hardness for this problem in sparse random regular graphs, showing optimality of a simple spectral certificate. This evidence takes the form of a computationally-quiet planting: we construct a distribution of d-regular graphs that has significantly smaller chromatic number than a typical regular graph drawn uniformly at random, while providing evidence that these two distributions are indistinguishable by a large class of algorithms. We generalize our results to the more general problem of certifying an upper bound on the maximum k-cut. This quiet planting is achieved by minimizing the effect of the planted structure (e.g. colorings or cuts) on the graph spectrum. Specifically, the planted structure corresponds exactly to eigenvectors of the adjacency matrix. This avoids the pushout effect of random matrix theory, and delays the point at which the planting becomes visible in the spectrum or local statistics. To illustrate this further, we give similar results for a Gaussian analogue of this problem: a quiet version of the spiked model, where we plant an eigenspace rather than adding a generic low-rank perturbation. Our evidence for computational hardness of distinguishing two distributions is based on three different heuristics: stability of belief propagation, the local statistics hierarchy, and the low-degree likelihood ratio. Of independent interest, our results include general-purpose bounds on the low-degree likelihood ratio for multi-spiked matrix models, and an improved low-degree analysis of the stochastic block model.

研究动机与目标

• 研究稀疏随机正则图中反驳 $k$-可着色性和 $k$-割最大化的平均情况计算困难性。
• 构造一种 $d$-正则图的分布，其具有一个嵌入的着色或割结构，其色数显著低于典型随机图，但仍与均匀随机模型在计算上不可区分。
• 通过多种启发式方法（信念传播的稳定性、局部统计层级和低度似然比）提供计算困难性的形式化证据。
• 将该框架推广至多脉冲矩阵模型，并改进随机块模型的低度分析。
• 证明当播种结构与特征向量对齐时，谱方法无法检测到嵌入结构，从而避免了随机矩阵理论中的推斥效应。

提出的方法

• 构造一种 $d$-正则图的分布，其中嵌入结构（着色或割）被编码为邻接矩阵的特征向量，以最小化谱扰动。
• 使用基于邻接矩阵前几大特征值的谱证书，来证明色数和 $k$-割大小的上界。
• 应用低度似然比方法分析区分嵌入分布与均匀随机图模型的计算难度。
• 利用局部统计层级和信念传播稳定性提供计算困难性的互补证据。
• 通过多脉冲 Wigner 矩阵模型分析该问题的高斯类比，其中脉冲对应于一个嵌入的特征子空间。
• 推导多脉冲模型的低度似然比界，表明当信号强度低于某一阈值时，该似然比保持有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否构造一种 $d$-正则图的分布，其具有一个嵌入的 $k$-着色结构，其色数显著低于典型随机图，但仍与均匀随机模型在计算上不可区分？
• RQ2 将嵌入结构与邻接矩阵的特征向量对齐，会在多大程度上延迟谱方法和局部算法的检测？
• RQ3 使用低度似然比方法时，嵌入模型与均匀随机图模型之间的计算不可区分性的阈值是什么？
• RQ4 谱播种方法如何避免随机矩阵理论中的推斥效应，其对嵌入结构可检测性有何影响？
• RQ5 该框架能否推广至证明 $k$-割大小的上界，并扩展至具有改进低度分析的随机块模型？

主要发现

• 嵌入 $k$-着色分布的色数为 $\chi(\bm{G}) \sim \frac{1}{2}\sqrt{d}$，显著低于均匀随机 $d$-正则图中的典型值 $\chi(\bm{G}) \sim \frac{1}{2}\frac{d}{\log d}$。
• 在低度似然比、信念传播稳定性以及局部统计层级下，嵌入分布与均匀随机图模型在计算上不可区分，表明存在平均情况下的困难性。
• 当播种结构与特征向量对齐时，基于前几大特征值的谱证书无法检测到嵌入结构，原因在于避开了推斥效应。
• 对于高斯类比，当信噪比 $\beta^2 < \gamma$ 时，低度似然比保持有界，表明在多脉冲 Wigner 模型中存在计算困难性。
• 该分析为多脉冲矩阵模型的低度似然比提供了通用界，优于先前结果。
• 该框架为随机块模型提供了改进的低度分析，表明检测阈值是尖锐的，并与信息论极限一致。