[论文解读] Spectral Polyhedra

Raman Sanyal, James Saunderson|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文引入了谱多面体（spectral polyhedra）作为一类由特征值位于对称凸集中的对称矩阵定义的凸体，推广了Schur-Horn轨道多面体（Schur-Horn orbitopes）。证明了谱多面体是具有小谱影表示的半定规划多面体（spectrahedra），并建立了其在交集、极对偶和闵可夫斯基和下的封闭性，同时推导出Steiner多项式与面轨道的公式。

ABSTRACT

A convex set is a collection of symmetric matrices whose range of eigenvalues form a symmetric convex set. Spectral convex sets generalize the Schur-Horn orbitopes studied by Sanyal-Sottile-Sturmfels (2011). We study this class of convex bodies, which is closed under intersections, polarity, and Minkowski sums. We describe orbits of faces and give a formula for their Steiner polynomials. We then focus on spectral polyhedra. We prove that spectral polyhedra are spectrahedra and give small representations as spectrahedral shadows. We close with observations and questions regarding hyperbolicity cones, polar convex bodies, and spectral zonotopes.

研究动机与目标

• 通过引入基于对称矩阵和特征值约束的谱凸集，推广Schur-Horn轨道多面体。
• 研究谱多面体的代数与几何性质，包括其在基本凸运算下的封闭性。
• 证明谱多面体是半定规划多面体，并提供其作为谱影表示的最小表示形式。
• 推导谱多面体Steiner多项式的公式，将几何不变量与谱数据相联系。
• 通过开放问题与观察，探索谱多面体与双曲性锥、极对偶凸体及谱Zonotope之间的联系。

提出的方法

• 将谱凸集定义为对称矩阵的凸集，其特征值范围构成对称凸集。
• 利用矩阵凸几何与谱理论，证明其在交集、极对偶和闵可夫斯基和下的封闭性。
• 通过特征值对称性与谱多面体上群作用，刻画面轨道。
• 利用谱不变量与对称函数，推导谱多面体Steiner多项式的通用公式。
• 通过低秩矩阵约束与半定规划技术，将谱多面体表示为谱影。
• 通过对偶性与代数几何，研究谱Zonotope与双曲性锥，提出开放问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对称矩阵凸集的背景下，谱多面体如何推广Schur-Horn轨道多面体？
• RQ2 谱多面体在极对偶与闵可夫斯基和等基本运算下的代数与几何性质是什么？
• RQ3 谱多面体能否以低维表示为谱影？
• RQ4 谱多面体中面轨道的结构如何？如何对其进行参数化？
• RQ5 谱多面体与双曲性锥、极对偶凸体之间存在何种联系？

主要发现

• 谱多面体是半定规划多面体，且可表示为小维度的谱影，从而支持高效的半定规划公式化。
• 谱多面体类在交集、极对偶与闵可夫斯基和下封闭，扩展了轨道多面体的结构性质。
• 推导出谱多面体Steiner多项式的通用公式，将几何不变量与谱数据相联系。
• 谱多面体中的面轨道由对称的特征值模式与谱域上的群作用所刻画。
• 本文建立了谱多面体与双曲性锥之间的联系，暗示其在凸几何与代数几何中存在更深层的关联。
• 针对谱Zonotope与极对偶凸体提出了开放问题，指明了未来研究的方向。