[论文解读] Spectral properties of hierarchical lattices and iteration of rational maps

Christophe Sabot|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 3

一句话总结

本文引入了一种新颖的重整化映射——在紧致复流形上的有理自同态——以研究有限分支自相似格点（如Sierpinski垫片）上离散拉普拉斯算子的谱性质。该文推导出密度态的显式公式，利用该映射的格林电流，并将映射的不定点与诺伊曼-狄利克雷本征值联系起来，后者对应于无界格点上具有紧支集的本征函数。

ABSTRACT

In this text we are interested in spectral properties of discrete Laplace operators defined on lattices based on finitely-ramified self-similar sets. The basic example is the lattice based on the Sierpinski gasket. We introduce a new renormalization map which appears to be a rational self-map of a compact complex manifolds. We relate some characteristics of its dynamics with some characteristics of the spectrum of our operator. More specifically, we give an explicite formula for the density of states in terms of the Green current of the map, and we relate the indeterminacy points of the map with the so-called Neuman-Dirichlet eigenvalues which lead to eigenfunctions with compact support on the unbounded lattice. Depending on the asymptotic degree of the map we can prove drastic different spectral properties of the operator. Hence, this work aims at a generalization and a better understanding of the initial work of physisits Rammal and Toulouse on the Sierpinski gasket (cf [31], [30]).

研究动机与目标

• 将自相似格点上拉普拉斯算子的谱分析从Sierpinski垫片推广至更广泛的情形。
• 理解重整化映射的动力学特性与算子谱特征之间的联系。
• 通过映射的不定点解释具有紧支集的本征函数的出现机制。
• 将重整化映射的渐近次数与谱行为的剧烈变化相联系。
• 利用映射的几何不变量，为态密度提供显式公式。

提出的方法

• 在有限分支自相似格点（如Sierpinski垫片）上定义离散拉普拉斯算子。
• 构造一种新的重整化映射，使其作为紧致复流形上的有理自同态作用。
• 利用该映射的动力学性质分析拉普拉斯算子的谱性质。
• 将态密度表示为与有理映射相关的格林电流的积分。
• 将映射的不定点识别为诺伊曼-狄利克雷本征值的指标。
• 分析映射的渐近次数，以预测谱结构的定性变化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将自相似格点上离散拉普拉斯算子的谱性质与重整化映射的动力学联系起来？
• RQ2 重整化映射的格林电流与态密度之间的确切关系是什么？
• RQ3 映射的不定点如何对应于具有紧支集本征函数的本征值？
• RQ4 映射的渐近次数在何种方式下影响整体谱结构？
• RQ5 能否利用此动力系统框架将Rammal与Toulouse在Sierpinski垫片上的初始发现推广？

主要发现

• 态密度以重整化映射的格林电流显式表达。
• 有理映射的不定点对应于诺伊曼-狄利克雷本征值，后者产生无界格点上具有紧支集的本征函数。
• 重整化映射的渐近次数决定了拉普拉斯算子谱性质的定性差异。
• 该框架推广并深化了Rammal与Toulouse关于Sierpinski垫片早期结果的理解。
• 算子的谱特性与底层有理映射的几何与动力不变量直接关联。
• 该方法为研究各类有限分支自相似格点上的谱行为提供了统一途径。