[论文解读] Spectral Properties of Hypergraph Laplacian and Approximation Algorithms

T-H. Hubert Chan, Anand Louis+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Graph theory and applications参考文献 57被引用 17

一句话总结

本文提出了一种基于扩散过程的新型非线性超图拉普拉斯矩阵，该过程从每个超边内加权度量最高的顶点向最低顶点流动。该工作建立了超图扩张的谱界，并为k路划分问题提供了O(log r)近似算法，其性能在小集合扩张假设下达到最优。

ABSTRACT

The celebrated Cheeger's Inequality establishes a bound on the edge expansion of a graph via its spectrum. This inequality is central to a rich spectral theory of graphs, based on studying the eigenvalues and eigenvectors of the adjacency matrix (and other related matrices) of graphs. It has remained open to define a suitable spectral model for hypergraphs whose spectra can be used to estimate various combinatorial properties of the hypergraph. In this paper we introduce a new hypergraph Laplacian operator generalizing the Laplacian matrix of graphs. In particular, the operator is induced by a diffusion process on the hypergraph, such that within each hyperedge, measure flows from vertices having maximum weighted measure to those having minimum. Since the operator is non-linear, we have to exploit other properties of the diffusion process to recover a spectral property concerning the "second eigenvalue" of the resulting Laplacian. Moreover, we show that higher order spectral properties cannot hold in general using the current framework. We consider a stochastic diffusion process, in which each vertex also experiences Brownian noise from outside the system. We show a relationship between the second eigenvalue and the convergence behavior of the process. We show that various hypergraph parameters like multi-way expansion and diameter can be bounded using this operator's spectral properties. Since higher order spectral properties do not hold for the Laplacian operator, we instead use the concept of procedural minimizers to consider higher order Cheeger-like inequalities. For any positive integer $k$, we give a polynomial time algorithm to compute an $O(\log r)$-approximation to the $k$-th procedural minimizer, where $r$ is the maximum cardinality of a hyperedge. We show that this approximation factor is optimal under the SSE hypothesis for constant values of $k$.

研究动机与目标

• 定义一个超图的谱模型，以推广图谱理论，特别是切赫不等式（Cheeger inequality）的理论。
• 解决长期存在的开放问题：将超图谱与组合参数（如扩张和直径）联系起来。
• 基于谱性质，为具有通用需求的超图划分和最稀疏割问题开发近似算法。
• 表明在当前框架下，高阶谱性质不成立，因此需要使用过程最小化器作为替代。
• 通过保持因子的约化方法，将超图结果推广至图的顶点扩张问题。

提出的方法

• 通过一种从每个超边内高加权顶点向低加权顶点重新分配测度的扩散过程，定义非线性超图拉普拉斯矩阵。
• 引入带有外部布朗运动噪声的随机扩散过程，以分析混合时间与收敛性，并将其与第二特征值联系起来。
• 使用过程最小化器替代高阶特征值，从而为k路扩张建立类似切赫不等式的谱界。
• 通过半定规划（SDP）松弛来近似第k个过程最小化器，并利用高斯空间中的随机投影进行舍入。
• 应用集中与矩不等式（如Paley-Zygmund不等式、柯西-施瓦茨不等式）分析舍入误差，确保近似保证。
• 利用度量嵌入中的畸变界（通过Lipschitz映射）将SDP解与实际超图扩张联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种超图的谱模型，使其特征值能界定如边扩张和直径等超图扩张参数？
• RQ2 新超图拉普拉斯矩阵的第二特征值与关联扩散过程的混合时间之间存在何种关系？
• RQ3 为何在当前框架下高阶谱性质不成立？应如何有意义地替代它们？
• RQ4 k路超图划分问题的最佳可能近似比是多少？能否高效实现？
• RQ5 能否通过约化将超图扩张的结果转移到图的顶点扩张问题？

主要发现

• 所提出的超图拉普拉斯矩阵是非线性的，由一种从每个超边内高权重顶点向低权重顶点流动的扩散过程所诱导。
• 拉普拉斯矩阵的第二特征值与随机扩散过程的混合时间紧密相关，从而提供了收敛性的谱表征。
• 可通过新拉普拉斯矩阵的谱性质来界定超图扩张与直径，推广了类似切赫不等式的结论。
• 为计算第k个过程最小化器，提供了一个O(log r)近似算法，其中r为最大超边大小，该因子在小集合扩张假设下为最优。
• 超图结果可通过保持因子的约化方法推广至图的顶点扩张问题，表明该框架具有更广泛的应用潜力。
• SDP松弛的舍入算法实现了O(√(log r) · Λ · Φ_H)的近似因子，其中Λ为嵌入的畸变度，且该界以常数概率成立。