[论文解读] Spectral radius and Hamiltonicity of graphs and balanced bipartite graphs with large minimum degree

Jun Ge, Bo Ning|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Graph theory and applications被引用 4

一句话总结

本文建立了图和最小度较大的平衡二分图中哈密顿性的谱半径条件。证明了当 $ n $ 足够大时，阶为 $ 2n $、最小度 $ \delta(G) \geq k $ 且谱半径 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ 的平衡二分图，除非同构于 $ B^k_n $，否则包含一个哈密顿圈；并将 Nikiforov 的结果推广至 $ k \geq 1 $，进一步完善了经典哈密顿性定理的谱类比。

ABSTRACT

Investigating the relationship between eigenvalues of a graph and its cycle structure is a standard topic in spectral graph theory. This paper mainly concerns spectral conditions for the existence of Hamilton cycles in graphs and in balanced bipartite graphs, respectively. Let $\lambda(G)$ be the spectral radius of a simple graph $G$. Our main result is: (a) Let $k\geq 1$, $n\geq k^3+2k+4$, and let $G$ be a balanced bipartite graph of order $2n$ with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If $\lambda(G)\geq \sqrt{n(n-k)}$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=B^k_n$, where $B^k_n$ is the graph obtained from $K_{n,n}$ by deleting a $K_{k,n-k}$. This result further gives a spectral analogue of Moon-Moser's theorem on Hamilton cycles in balanced bipartite graphs, and extends the previous result due to Li and the second author for $n$ sufficiently large. Recently, Nikiforov proved that: (b) Let $k\geq 2$. Let $G$ be a graph of order $n\geq k^3+k+4$ with minimum degree $\delta(G)\geq k$. If $\lambda(G)\geq n-k-1$, then $G$ has a Hamilton cycle unless $G=K_1\vee (K_k+K_{n-k-1})$, or $G=K_k\vee (kK_1+K_{n-k-1})$. We show that Nikiforov's theorem holds for: $k\geq 1$ and $n\geq \max\{\frac{1}{2}k^3+k+\frac{5}{2},6k+5\}$.

研究动机与目标

• 建立确保大最小度图中哈密顿性的谱条件。
• 为平衡二分图中哈密顿圈的 Moon-Moser 定理提供一个谱类比。
• 将 Nikiforov 关于谱半径与哈密顿性的结果推广至更小的 $ n $ 和 $ k \geq 1 $。
• 刻画违反谱条件但仍避免哈密顿圈的极值图。

提出的方法

• 使用谱半径 $ \lambda(G) $ 作为关键图不变量，推导哈密顿性的充分条件。
• 分析极值图（如 $ B^k_n $，即从 $ K_{n,n} $ 中删除一个 $ K_{k,n-k} $ 得到的图）作为潜在的例外情况。
• 应用特征值交错和稳定性论证，界定非哈密顿图的谱半径。
• 利用最小度和连通性方面的已知结果，约束违反谱阈值的图的结构。
• 为阶为 $ 2n $、满足 $ n \geq k^3 + 2k + 4 $ 的平衡二分图建立谱半径阈值 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $。
• 通过验证其在 $ k \geq 1 $ 且 $ n \geq \max\{\frac{1}{2}k^3 + k + \frac{5}{2}, 6k + 5\} $ 时成立，扩展 Nikiforov 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种谱半径条件下，具有大最小度的平衡二分图包含一个哈密顿圈？
• RQ2 满足谱条件但缺乏哈密顿圈的极值图是什么？
• RQ3 Nikiforov 关于哈密顿性的谱条件能否推广至 $ k \geq 1 $ 和更小的 $ n $？
• RQ4 谱半径如何与高最小度图中的圈结构相关联？
• RQ5 是否存在平衡二分图中 Moon-Moser 定理的谱类比？

主要发现

• 当 $ n \geq k^3 + 2k + 4 $ 时，阶为 $ 2n $、满足 $ \delta(G) \geq k $ 且 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ 的平衡二分图，除非同构于 $ B^k_n $，否则包含一个哈密顿圈。
• 图 $ B^k_n $（即从 $ K_{n,n} $ 中删除一个 $ K_{k,n-k} $ 得到的图）是平衡二分图中哈密顿性谱条件的唯一例外。
• Nikiforov 关于通过谱半径实现哈密顿性的结果被推广至 $ k \geq 1 $，其阈值为 $ n \geq \max\{\frac{1}{2}k^3 + k + \frac{5}{2}, 6k + 5\} $。
• 谱条件 $ \lambda(G) \geq \sqrt{n(n-k)} $ 为平衡二分图提供了 Moon-Moser 定理的紧致谱类比。
• 极值图 $ K_1 \vee (K_k + K_{n-k-1}) $ 和 $ K_k \vee (kK_1 + K_{n-k-1}) $ 是唯一满足 Nikiforov 谱阈值但非哈密顿的图（当 $ k \geq 1 $ 时）。
• 结果统一并扩展了先前的谱条件，表明在最小度约束下，仅靠谱半径即可检测哈密顿性。