[论文解读] Spectral radius minus average degree: a better bound

Felix Goldberg|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Graph theory and applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文改进了图的谱半径减去平均度数（$\epsilon(G) = \rho(G) - \overline{d}$）的下界，该值衡量图的不规则性。通过使用基本的矩阵不等式与方差分析，推导出一个严格优于 Nikiforov 所得最优已知下界的全新下界，尤其在 $\Delta - \delta = 1$ 的次正则图中表现更优。关键成果是基于度数方差与最大度数的更紧致、可解析推导的下界。

ABSTRACT

Collatz and Sinogowitz had proposed to measure the departure of a graph $G$ from regularity by the difference of the (adjacency) spectral radius and the average degree: $ε(G)=ρ(G)-\frac{2m}{n}$. We give here new lower bounds on this quantity, which improve upon the currently known ones.

研究动机与目标

• 改进 $\epsilon(G) = \rho(G) - \overline{d}$ 的现有下界，该值衡量图的不规则性。
• 使用初等方法，提供优于 Nikiforov 的 $\epsilon(G) \geq \frac{\operatorname{var}(G)}{\sqrt{8m}}$ 的更紧下界。
• 解决先前下界过弱的次正则图（$\Delta - \delta = 1$）情形。
• 基于 $n$ 与 $\Delta$，推导出高阶与低阶次正则图的显式、改进后的下界。

提出的方法

• 利用柯西-施瓦茨不等式与符号拉普拉斯矩阵的谱半径性质，推导新下界。
• 应用引理 1（Hofmeister）与引理 2（柯西-施瓦茨不等式），将 $\rho(G)$ 与度数平方和关联。
• 使用引理 3 将度数方差 $\operatorname{var}(G)$ 表示为 $\frac{1}{n}\sum d_i^2 - \left(\frac{2m}{n}\right)^2$。
• 利用引理 4 与引理 5，通过 $\sum d_i^2 \leq 2m\Delta$ 与 $\rho(Q) \leq 2\Delta$，对符号拉普拉斯矩阵 $Q(G)$ 的谱半径进行有界。
• 对于次正则图，应用引理 7（基于行走计数的谱半径下界）并分析 $t_i = \sum_{j \sim i} d_j$ 的结构。
• 通过代数化简与 $L(n,\Delta)$ 的单调性分析，推导出高阶与低阶次正则情形的紧致下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Nikiforov 的 $\frac{\operatorname{var}(G)}{\sqrt{8m}}$ 之上进一步改进 $\epsilon(G) = \rho(G) - \overline{d}$ 的下界？
• RQ2 新下界在 $\Delta - \delta = 1$ 的次正则图中表现如何？
• RQ3 是否存在一个更紧致的解析下界，其依赖于 $n$、$m$ 与 $\Delta$？
• RQ4 能否通过基于行走的度数和，更精确地界定次正则图的谱半径？

主要发现

• 新下界 $\epsilon(G) \geq \frac{\operatorname{var}(G)\sqrt{n}}{\sqrt{8m\Delta}}$ 严格优于 Nikiforov 的 $\frac{\operatorname{var}(G)}{\sqrt{8m}}$，因为 $\sqrt{n} > \sqrt{8m\Delta}/\sqrt{8m} = \sqrt{\Delta}$ 且 $n > \Delta$。
• 对于高阶次正则图（$\Delta - \delta = 1$，一个顶点度数为 $\Delta$），推导出下界 $\epsilon(G) \geq \frac{n^2 - 2n + 3}{n^3 \Delta}$，并证明其优于先前结果。
• 对于低阶次正则图（$\Delta - \delta = 1$，一个顶点度数为 $\Delta - 1$），建立下界 $\epsilon(G) \geq \frac{2n^2 - 4n - 3}{2n^3(\Delta - 1 + \frac{1}{\Delta})}$。
• 函数 $L(n,\Delta)$（表示 $\rho^2 - \overline{d}^2$）被证明在 $\Delta$ 上非增，因此可使用 $\Delta = n-2$ 或 $\Delta = n-1$ 作为最坏情况的界。
• 高阶次正则图的下界给出 $\epsilon(G) \geq \frac{1}{n^2}(2n - 4 + \frac{6}{n}) / (2\Delta)$，该式可简化为所述表达式。
• 证明中建立了 $\rho \geq \sqrt{\frac{\sum t_i^2}{\sum d_i^2}}$，并借助引理 7，通过行走计数推导出谱半径的下界。