[论文解读] Spectral Representations of Graphons in Very Large Network Systems Control

Shuang Gao, Peter E. Caines|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Graph theory and applications参考文献 43被引用 28

一句话总结

本文提出了图论函数（graphons）的谱表示——用于大型网络系统的极限对象——以实现对无限维网络系统的低复杂度控制。通过利用图论函数算子的特征函数展开与谱分解，本文建立了可控制性准则，并将该框架应用于流行病控制，表明在大规模网络中，低维谱近似已足够实现有效控制。

ABSTRACT

Graphon-based control has recently been proposed and developed to solve control problems for dynamical systems on networks which are very large or growing without bound (see Gao and Caines, CDC 2017, CDC 2018). In this paper, spectral representations, eigenfunctions and approximations of graphons, and their applications to graphon-based control are studied. First, spectral properties of graphons are presented and then approximations based on Fourier approximated eigenfunctions are analyzed. Within this framework, two classes of graphons with simple spectral representations are given. Applications to graphon-based control analysis are next presented; in particular, the controllability of systems distributed over very large networks is expressed in terms of the properties of the corresponding graphon dynamical systems. Moreover, spectral analysis based upon real-world network data is presented, which demonstrates that low-dimensional spectral approximations of networks are possible. Finally, an initial, exploratory investigation of the utility of the spectral analysis methodology in graphon systems control to study the control of epidemic spread is presented.

研究动机与目标

• 开发图论函数的谱表示，以实现对极大规模或无限维网络系统的控制。
• 利用谱分解分析基于图论函数的动力系统可控制性。
• 证明低维谱近似在真实世界网络数据中具有有效性。
• 探索谱图论函数控制在流行病传播缓解中的应用。

提出的方法

• 将图论函数算子作为 L2[0,1] 上的紧致自伴 Hilbert-Schmidt 算子，用于建模大规模网络。
• 应用谱定理，将图论函数算子分解为特征函数与特征值。
• 采用基于傅里叶的特征函数近似方法，构建低秩谱表示。
• 在谱域中利用 Riccati 型方程推导图论函数系统的最优控制律。
• 通过特征值与特征向量的收敛性，将有限网络的控制解推广至图论函数极限。
• 在真实网络数据（如 USAir97）上验证该框架，并将其应用于元种群流行病模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱表示的图论函数能否实现对大规模网络系统的可控制性分析？
• RQ2 低维谱近似在多大程度上能有效表征真实世界的大规模网络？
• RQ3 对于具有分布动力学的系统，图论函数极限下的最优控制律具有何种结构？
• RQ4 有限网络的特征值与特征向量如何收敛至极限图论函数的对应值？
• RQ5 谱图论函数控制能否有效应用于大规模网络中流行病传播的控制？

主要发现

• 图论函数算子的谱分解使得可控制性分析成为可能，通过将系统动态表达为特征函数与特征值的组合。
• 对真实世界网络（如 USAir97）的低维谱近似是有效的，这通过特征值与特征向量的收敛性得到验证。
• 图论函数系统的最优控制律以谱形式推导得出，其解依赖于图论函数的特征值与特征函数。
• 在流行病控制情形下，最优控制作用可表示为对主导特征方向投影的线性组合。
• 从有限网络到图论函数极限的过渡保持了控制律的结构，其中特征值 µℓ/N 收敛于 λℓ。
• 数值仿真表明，仅控制前两个最重要的特征方向即可有效调节流行病过程，验证了低维近似的有效性。