[论文解读] Spectral sequences for cyclic homology

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文在特征零的域上，无需非负同调度数的假设，证明了DG代数的Kontsevich-Soibelman退化猜想，针对其周期循环同调。通过为共周期循环同调构造共轭谱序列，并利用Deligne-Illusie风格的正特征约化，作者建立了同调光滑且完备的DG代数的Hodge-to-de Rham谱序列的退化性。

ABSTRACT

We prove that for a homologically smooth and proper DG algebra over a field of characteristic 0, the Hodge-to-de Rham spectral sequence degenerates. This has been conjectured by M. Kontsevich and Y. Soibelman arXiv:math/0606241 and proved in arXiv:math/0611623 under a technical assumption. In this paper, the assumption is removed, and the argument is considerably simplified (in particular, it no longer uses Dold-Kan equivalence and simplicial methods). We also analyse the degeneration of the conjugate spectral sequence in positive caracteristic constructed in arXiv:1509.08784.

研究动机与目标

• 在特征零下，无需技术限制，证明DG代数周期循环同调的Kontsevich-Soibelman退化猜想。
• 解决先前工作中要求DG代数集中于非负度数的局限性。
• 为共周期循环同调构造共轭谱序列，这是[Ka5]中引入的新不变量，其收敛于周期循环同调的精化版本。
• 通过将共周期循环同调与Tate上同调相结合，将Deligne-Illusie方法推广至DG代数。
• 通过迹函子与分裂技巧，处理此前构造中被排除的特征2情形。

提出的方法

• 利用带过滤的DG范畴及单纯对象的边向细分，为共周期循环同调构造共轭谱序列。
• 利用同调光滑且有界的DG代数上周期循环同调与共周期循环同调之间的比较同构。
• 通过基域的有限生成子环实现正特征约化，确保存在具有良好剩余域的最大理想。
• 利用共轭谱序列在正特征下退化，这是由于Hochschild同调有限维且上同调维数有界。
• 通过模所有最大理想后微分的消失，推导出在特征零下微分恒为零。
• 通过[Ka6]中的迹函子与分裂结果处理特征2情形，纠正了早期工作中的漏洞。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于特征零域上同调光滑且同调完备的DG代数，Hodge-to-de Rham谱序列是否在不假设非负同调度数下退化？
• RQ2 共轭谱序列是否可在所有特征（包括特征2）下为共周期循环同调构造？
• RQ3 同调光滑且有界的DG代数上，周期循环同调与共周期循环同调之间是否存在比较同构？
• RQ4 能否通过使用共周期循环同调而非Hochschild同调，将Deligne-Illusie方法适配至DG代数？
• RQ5 Tate上同调在正特征下为DG代数构造相对共轭滤子中起何作用？

主要发现

• 对于任意特征零域上同调光滑且同调完备的DG代数，Hodge-to-de Rham谱序列均退化。
• 共周期循环同调的共轭谱序列收敛于正确的不变量，且在正特征下由于Hochschild同调有限维而退化。
• 对同调光滑且有界的DG代数，存在自然同构 $ HP_{\bullet}(A) \to \bar{HP}_{\bullet}(A) $，从而实现与周期循环同调的比较。
• 通过迹函子与分裂技巧成功处理了特征2情形，解决了先前构造中的漏洞。
• Hodge-to-de Rham谱序列的微分在特征零域上恒为零，因为其模所有最大理想后消失。
• 结果在无技术限制（包括同调度数或单纯方法）下，完全确认了Kontsevich-Soibelman退化猜想。