[论文解读] Spectral Sparsification of Graphs

Daniel A. Spielman, Shang‐Hua Teng|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 28被引用 18

一句话总结

本文提出了谱稀疏化（spectral sparsification）方法，通过构造一个稀疏子图来近似原图，使得该子图的拉普拉斯二次型与原图的拉普拉斯二次型高度接近。本文证明，每个图都存在一个具有 Õ(n/ε²) 条边的谱稀疏化子，且可在 Õ(m) 时间内构造完成，从而实现对对角占优矩阵中线性系统的近乎线性时间求解算法。

ABSTRACT

We introduce a new notion of graph sparsificaiton based on spectral similarity of graph Laplacians: spectral sparsification requires that the Laplacian quadratic form of the sparsifier approximate that of the original. This is equivalent to saying that the Laplacian of the sparsifier is a good preconditioner for the Laplacian of the original. We prove that every graph has a spectral sparsifier of nearly linear size. Moreover, we present an algorithm that produces spectral sparsifiers in time $\softO{m}$, where $m$ is the number of edges in the original graph. This construction is a key component of a nearly-linear time algorithm for solving linear equations in diagonally-dominant matrcies. Our sparsification algorithm makes use of a nearly-linear time algorithm for graph partitioning that satisfies a strong guarantee: if the partition it outputs is very unbalanced, then the larger part is contained in a subgraph of high conductance.

研究动机与目标

• 将谱稀疏化定义并形式化为一种基于拉普拉斯矩阵谱相似性的更强图近似概念。
• 证明任意加权图均存在大小接近线性（即 Õ(n/ε²) 条边）的谱稀疏化子。
• 开发一种近乎线性时间的算法来构造此类谱稀疏化子，实现 Õ(m) 的时间复杂度。
• 建立谱稀疏化子作为求解对角占优矩阵中线性系统的有效预条件子。
• 建立基础算法，包括一种近乎线性时间的图划分方法，以支持稀疏化过程。

提出的方法

• 通过定义：谱稀疏化器的拉普拉斯二次型在所有实向量上与原图的拉普拉斯二次型相差不超过 (1+ε) 因子，来定义谱稀疏化。
• 采用递归算法流水线：首先按有效电阻成比例采样边，然后应用无权稀疏化和有界稀疏化以控制边数膨胀和边数。
• 使用一种近乎线性时间的图划分算法 ApproxCut，保证在任意非平衡割的较大部分中具有高导出率。
• 应用随机回溯机制，将商图的稀疏化子映射回原图，确保边膨胀被控制。
• 利用集中不等式和期望分析，限制最终稀疏化子中边的膨胀，证明其每条边的膨胀量保持在 O(min(d_u, d_v)/log²n) 以内。
• 利用最终稀疏化子与原图之间的谱相似性，实现对拉普拉斯线性系统的预条件化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个稀疏子图，使得其拉普拉斯二次型对所有实向量都与原图的拉普拉斯二次型保持 (1+ε) 因子内的近似？
• RQ2 是否可能在近乎线性时间内（即 Õ(m) 时间，m 为边数）构造此类谱稀疏化子？
• RQ3 图的哪些结构性质（如导出率、有效电阻）使得能够构造出接近线性规模的谱稀疏化子？
• RQ4 与现有的剪切稀疏化或生成树近似相比，谱稀疏化在近似强度上如何？
• RQ5 谱稀疏化子能否作为求解对角占优矩阵中线性系统的有效预条件子？

主要发现

• 每个加权图都存在一个具有 Õ(n/ε²) 条边的谱稀疏化子，且该稀疏化子是原图的 (1+ε)-谱近似。
• 该稀疏化子可在 Õ(m) 时间内构造完成，其中 m 为原图的边数。
• 该算法确保任意边的膨胀量（即映射到该边的原边数量）被限制在 O(min(d_u, d_v)/log²(3n/p)²) 以内。
• 该构造依赖于一种近乎线性时间的图划分算法 ApproxCut，该算法保证在任意非平衡割的较大部分中具有高导出率。
• 谱稀疏化严格强于剪切稀疏化，如第 5 节中的反例所示，剪切稀疏化无法保持谱性质。
• 这些结果构成了求解对角占优矩阵中线性系统近乎线性时间算法的基础，如配套论文 [ST08b] 所示。