[论文解读] Spectral statistics for the discrete Anderson model in the localized regime

François Germinet, Frédéric Klopp|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用 15

一句话总结

该论文证明，在离散安德森模型的局域化区域中，经过缩放的本征值与局域化中心在广泛的能量尺度下表现出局部均匀的泊松统计。关键结果是，能级间距分布收敛于具有密度态密度的独立同分布随机变量的分布，从而在具有平滑无序的离散模型中，确认了局域相的泊松谱统计。

ABSTRACT

We report on recent results on the spectral statistics of the discrete Anderson model in the localized phase. Our results show, in particular, that, for the discrete Anderson Hamiltonian with smoothly distributed random potential at sufficiently large coupling, the limit of the level spacing distribution is that of i.i.d. random variables distributed according to the density of states of the random Hamiltonian. This text is a contribution to the proceedings of the conference "Spectra of Random Operators and Related Topics" held at Kyoto University, 02-04/12/09 organized by N. Minami and N. Ueki.

研究动机与目标

• 表征离散安德森哈密顿量在局域相中的局部谱统计。
• 建立缩放后本征值间距收敛于强度由态密度给出的泊松过程。
• 分析多个能量尺度下缩放后本征值与局域化中心的联合统计。
• 推导在局部与全局能量区域中，能级间距与局域化中心间距的极限分布。
• 证明极限能级间距分布与密度等于态密度的独立同分布随机变量的分布一致。

提出的方法

• 在大方块 $\Lambda_L$ 上使用有限体积限制 $H_{\tau,\rho}$ 并施加周期性边界条件，以研究本征值统计。
• 通过 $\xi_j = |\Lambda| \nu(E_0)(E_j - E_0)$ 对本征值进行缩放，以归一化局部密度并支持收敛性分析。
• 在大小为 $|\Lambda|^{-\beta}$ 的能量区间上应用统一的泊松收敛定理，其中 $\beta > d/(d+2)$。
• 定义能级间距与局域化中心间距的经验分布，以研究其极限行为。
• 通过 $x(E)$ 对局域化中心进行枚举，以定义间距并确保在大方块中计数有限。
• 在指定缩放条件下，证明经验间距分布以概率收敛和几乎必然收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散安德森模型的局部本征值统计是否在局域相收敛于泊松过程？
• RQ2 在极限下，缩放后的本征值间距是否按态密度分布？
• RQ3 缩放后本征值与局域化中心的联合统计是否收敛于独立的泊松过程？
• RQ4 局域化中心间距的极限分布是什么？
• RQ5 能级间距与局域化中心间距分布在全球与局部能量范围内如何表现？

主要发现

• 缩放后的本征值弱收敛于勒贝格强度的泊松过程，确认了局部泊松谱统计。
• 能级间距分布收敛于密度等于态密度 $\nu(E_0)$ 的独立同分布随机变量的分布。
• 缩放后本征值与局域化中心的联合统计在大小为 $|\Lambda|^{-\beta}$ 的能量区间内收敛于独立的泊松过程。
• 当 $|\Lambda| \to \infty$ 时，局域化中心间距的经验分布以概率一致收敛于 $e^{-s^d}$。
• 对于无限系统，当能量区间收缩至一点且 $\nu(E_0) > 0$ 时，能级间距分布以几乎必然收敛于 $e^{-\nu(E_0)x}$。
• 当能量区间 $I_L$ 固定且具有连续密度 $\nu$ 时，间距分布收敛于 $g_{\nu,J}(N(J)x)$，即缩放后的指数分布。