[论文解读] Spectral theory and special functions

Erik Koelink|ArXiv.org|Jul 5, 2001

Mathematical functions and polynomials参考文献 23被引用 27

一句话总结

本文应用谱理论，通过 ℓ²(ℤ≥0) 和 ℓ²(ℤ) 上的自伴雅可比算子，推导出特殊函数的正交关系。通过谱分解证明了法瓦尔德定理，并显式计算了梅克纳、梅克纳-波拉茨克和 q-超几何差分算子的谱测度，从而得到基本超几何级数的广义正交关系。

ABSTRACT

A short introduction to the use of the spectral theorem for self-adjoint operators in the theory of special functions is given. As the first example, the spectral theorem is applied to Jacobi operators, i.e. tridiagonal operators, on l^2(N), leading to a proof of Favard's theorem stating that polynomials satisfying a three-term recurrence relation are orthogonal polynomials. We discuss the link to the moment problem. In the second example, the spectral theorem is applied to Jacobi operators on l^2(Z). We discuss the theorem of Masson and Repka linking the deficiency indices of a Jacobi operator on l^2(Z) to those of two Jacobi operators on l^2(N). For two examples of Jacobi operators on l^2(Z), namely for the Meixner, respectively Meixner-Pollaczek, functions, related to the associated Meixner, respectively Meixner-Pollaczek, polynomials, and for the second order hypergeometric q-difference operator, we calculate the spectral measure explicitly. This gives explicit (generalised) orthogonality relations for hypergeometric and basic hypergeometric series.

研究动机与目标

• 建立自伴算子谱理论与正交多项式及特殊函数理论之间的严格联系。
• 通过 ℓ²(ℤ≥0) 上无界雅可比算子的谱定理证明法瓦尔德定理，将三对角递推关系与正交性联系起来。
• 将谱分析扩展至 ℓ²(ℤ) 上的双无限雅可比算子，利用马松-雷普卡定理将亏指数与 ℓ²(ℤ≥0) 上的亏指数关联。
• 显式计算梅克纳函数和梅克纳-波拉茨克函数以及二阶 q-差分算子的谱测度，从而得到新的正交关系。
• 证明 q-超几何差分算子的谱测度包含离散和连续两部分，并在 q→1 极限下展示其收敛于经典特殊函数。

提出的方法

• 将无界自伴算子的谱定理应用于 ℓ²(ℤ≥0) 上的三对角雅可比算子，通过三对角递推关系将其与正交多项式联系起来。
• 采用哈默林矩问题框架，表征与雅可比算子对应的测度，建立法瓦尔德定理与谱分解之间的等价性。
• 利用马松-雷普卡定理，将 ℓ²(ℤ) 上雅可比算子的自伴性及亏指数与 ℓ²(ℤ≥0) 上两个半直线算子的亏指数关联起来。
• 通过格林函数核与留数分析，显式计算梅克纳函数的谱测度，得到离散谱测度。
• 通过推导基本超几何级数作为特征函数，利用基本解的渐近分析计算二阶 q-超几何差分算子的谱测度。
• 通过 q↑1 的极限过渡，将 q-超几何谱测度与经典梅克纳函数的谱测度联系起来，验证了极限下正交关系的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用谱定理证明满足三对角递推关系的多项式是正交的？
• RQ2 ℓ²(ℤ) 上雅可比算子的亏指数与 ℓ²(ℤ≥0) 上其半直线限制的亏指数之间的确切关系是什么？
• RQ3 由 ℓ²(ℤ) 上的雅可比算子产生的梅克纳函数的谱测度的显式形式是什么？
• RQ4 二阶 q-超几何差分算子的谱测度如何分解为离散部分与连续部分？
• RQ5 当 q→1 时，q-超几何级数的正交关系是否可作为梅克纳函数正交关系的极限得到？

主要发现

• 通过谱分解证明了法瓦尔德定理：在 ℓ²(ℤ≥0) 上具有三对角递推关系的雅可比算子生成一族正交多项式。
• 梅克纳函数的谱测度为纯离散测度，通过留数显式计算，得到涉及离散质量点之和的正交关系。
• 对于 q-超几何差分算子，谱测度包含连续部分（在 [0,π] 上的积分）和离散部分（极点上的求和），从而导出混合正交关系。
• q-超几何谱测度在 q↑1 极限下重现了已知的梅克纳函数谱测度，确认了极限下正交关系的一致性。
• 通过基本解 F_k(y) 的渐近行为，验证了即使当 c > q² 时，q-差分算子的自伴扩张也存在，从而保证了谱分解的有效性。
• q-算子的离散谱为 s(q^{p-1+ε} - 1)/(1−q) + s^{-1}(q^{1−ε−p} - 1)/(1−q)，当 q↑1 时收敛于 (p+ε−1)(s^{-1}−s)，与梅克纳离散谱一致。