[论文解读] Spectral Theory of a Neumann–Poincare-Type Operator and Analysis of Cloaking Due to Anomalous Localized Resonance

Ciraolo, G.|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 47被引用 205

一句话总结

该论文研究了具有等离子体壳层的径向对称二维和三维包覆结构中的异常局域共振（CALR）现象。通过奈曼-泊松卡尔型算子的谱分析，证明了当壳层的实部介电常数为−1时，CALR在二维中发生，但在三维中无论材料参数如何均不发生，原因在于特征值衰减速率不同：二维中为指数衰减（可导致场发散），三维中为缓慢衰减（1/n）（抑制场发散）。

ABSTRACT

If a body of dielectric material is coated by a plasmonic structure of negative dielectric constant with nonzero loss parameter, then cloaking by anomalous localized resonance (CALR) may occur as the loss parameter tends to zero. The aim of this paper is to investigate this phenomenon in two and three dimensions when the coated structure is radial, and the core, shell and matrix are isotropic materials. In two dimensions, we show that if the real part of the permittivity of the shell is -1 (under the assumption that the permittivity of the background is 1), then CALR takes place. If it is different from -1, then CALR does not occur. In three dimensions, we show that CALR does not occur. The analysis of this paper reveals that occurrence of CALR is determined by the eigenvalue distribution of the Neumann-Poincar\'e-type operator associated with the structure.

研究动机与目标

• 该论文旨在确定在何种条件下，异常局域共振（CALR）会在径向对称的二维和三维包覆结构中发生。
• 研究奈曼-泊松（NP）算子特征值分布对CALR发生或被抑制的作用。
• 旨在建立基于材料介电常数和几何结构的精确判据，以确定CALR在二维和三维中是否发生或不发生。
• 阐明为何在各向同性、径向对称结构中，CALR在二维中可能而三维中不可能，尽管物理设置相似。
• 旨在将先前关于二维中ǫc = −ǫs = 1时CALR结果推广至任意ǫc和ǫs，并解决三维情况。

提出的方法

• 通过层势方法将电势Vδ表示为在界面Γi和Γe上的牛顿势与单层势之和。
• 将界面处的连续条件约化为包含奈曼-泊松型算子K∗的边界积分方程组。
• 关键方法为NP算子的谱分析：对圆形（二维）和球形（三维）几何结构显式计算特征值。
• 在二维中，特征值为±ρn（n = 1, 2, ...），其中ρ = ri/re，导致指数衰减。
• 在三维中，特征值为±(1/2(2n+1))√(1+4n(n+1)ρ²ⁿ⁺¹)，衰减速率为1/n。
• 分析当δ → 0时能量耗散Eδ = ∫Ω\D δ|∇Vδ|² dx的行为，场发散表示CALR发生。

实验结果

研究问题

• RQ1 当壳层介电常数ǫs ≠ −1时，CALR是否仍会在二维中发生，即使ǫc = 1？
• RQ2 对于各向同性、径向对称的包覆球体，什么决定了CALR在三维中是否发生，无论ǫc和ǫs为何值？
• RQ3 NP算子特征值的谱分布如何决定CALR的发生或不发生？
• RQ4 在二维中是否存在一个临界半径r∗，用以区分发生CALR与不发生CALR的源，其如何依赖于ǫc和ǫs？
• RQ5 源势的傅里叶系数的间隙特性能否预测CALR的发生？

主要发现

• 在二维中，CALR仅当壳层介电常数的实部ǫs = −1时发生，与ǫc无关。
• 当ǫs = −1且ǫc = 1时，临界半径r∗为r∗ = √(re³/ri)，与先前结果一致。
• 当ǫs = −1且ǫc ≠ 1时，临界半径为r∗ = re²/ri，且CALR在源支持于r∗内部时发生。
• 在三维中，当壳层具有恒定、各向同性的介电常数时，无论ǫc和ǫs为何值，CALR均不发生，原因在于NP算子特征值衰减速率缓慢（1/n）。
• 对于所有f ∈ L²(R³)，能量耗散Eδ在δ上一致有界，表明无发散，因此无CALR。
• 谱差异——二维中为指数衰减，三维中为多项式衰减——解释了这一二元性：仅指数衰减可实现CALR所必需的场发散。