[论文解读] Spectral Theory of Multiple Intervals

Palle E. T. Jørgensen, Steen Pedersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2012

Numerical methods in inverse problems被引用 4

一句话总结

本文为 $L^2(\Omega)$ 上的自伴算子构建了一个谱理论模型，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}$ 去掉有限个不相交的闭区间，利用 $U(n)$ 中的酉矩阵参数化边界条件。该文给出了谱分解、广义特征函数和散射系数的显式公式，并识别出对应于束缚态和束缚模的嵌入点谱，其重数由区间长度和酉参数决定。

ABSTRACT

We present a model for spectral theory of families of selfadjoint operators, and their corresponding unitary one-parameter groups (acting in Hilbert space.) The models allow for a scale of complexity, indexed by the natural numbers $\mathbb{N}$. For each $n\in\mathbb{N}$, we get families of selfadjoint operators indexed by: (i) the unitary matrix group U(n), and by (ii) a prescribed set of $n$ non-overlapping intervals. Take $Ω$ to be the complement in $\mathbb{R}$ of $n$ fixed closed finite and disjoint intervals, and let $L^{2}(Ω)$ be the corresponding Hilbert space. Moreover, given $B\in U(n)$, then both the lengths of the respective intervals, and the gaps between them, show up as spectral parameters in our corresponding spectral resolutions within $L^{2}(Ω)$. Our models have two advantages: One, they encompass realistic features from quantum theory, from acoustic wave equations and their obstacle scattering; as well as from harmonic analysis. Secondly, each choice of the parameters in our models, $n\in\mathbb{N}$, $B\in U(n)$, and interval configuration, allows for explicit computations, and even for closed-form formulas: Computation of spectral resolutions, of generalized eigenfunctions in $L^{2}(Ω)$ for the continuous part of spectrum, and for scattering coefficients. Our models further allow us to identify embedded point-spectrum (in the continuum), corresponding, for example, to bound-states in scattering, to trapped states, and to barriers in quantum scattering. The possibilities for the discrete atomic part of spectrum includes both periodic and non-periodic distributions.

研究动机与目标

• 为 $L^2(\Omega)$ 上动量算子的自伴扩张建立系统的谱理论，其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}$ 去掉 $n$ 个不相交的闭区间。
• 根据区间长度、间隙以及 $U(n)$ 中的酉参数，表征所得自伴算子的谱——连续谱、离散谱和嵌入谱。
• 为连续谱中的广义特征函数和谱分解提供显式、封闭形式的表达式。
• 识别对应于量子束缚态、散射系统中束缚模和共振态的嵌入点谱。
• 建立一个框架，通过酉扩张和边界条件参数化计算散射系数，并分析特征值的重数。

提出的方法

• 通过缺陷指标理论和 $U(n)$ 中的酉边界条件，对 $L^2(\Omega)$ 上动量算子 $d/dx$ 的自伴扩张进行建模。
• 利用实直线上的直积分分解表示谱分解，其重数由酉参数 $B \in U(n)$ 决定。
• 将 $L^2(\Omega)$ 中的广义特征函数构造为指数函数 $e^{i\lambda x}$ 的叠加，其振幅系数 $A_{\pm\infty}, A_{j,k}$ 满足酉匹配条件 $B D_r(\lambda) \mathbf{A} = D_s(\lambda) \mathbf{A}$。
• 利用酉扩张理论，将自伴算子的谱性质与酉参数 $B$ 在 $\ell^2$ 上的作用谱联系起来，尤其当 $B$ 为对角阵或分块对角阵时。
• 应用 Lax-Phillips 平移表示框架，将酉一参数群 $U(t)$ 解释为时间演化，其谱重数与 $B$ 的结构相关。
• 通过将酉群 $U_B(t)$ 分解为不可约和可约部分，分析退化情形，将谱行为与 $B$ 的结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 $n$ 个不相交区间的长度及其间距如何影响 $L^2(\Omega)$ 上动量算子的谱分解？
• RQ2 酉矩阵 $B \in U(n)$ 在决定自伴扩张的谱（包括嵌入点质量）方面起什么作用？
• RQ3 能否为这类算子在连续谱中的广义特征函数推导出显式封闭形式的表达式？
• RQ4 在何种条件下算子具有嵌入点谱，且特征值的重数如何确定？
• RQ5 选择 $B$ 如何影响散射系数，以及系统中束缚态或共振态的存在？

主要发现

• 当 $B = \mathrm{diag}(1,1,\ldots)$ 时，$P_B$ 的谱为整个实直线，且嵌入点谱为 $\Lambda_p = \bigcup_{k=1}^\infty \frac{1}{\ell_k}\mathbb{Z}$，其中 $\ell_k$ 是第 $k$ 个区间的长度。
• 特征值 $\lambda \in \Lambda_p$ 的重数等于满足 $\lambda \ell_k \in \mathbb{Z}$ 的区间 $k$ 的数量，若 $\ell_k = 2^{-k}$，则 $0$ 具有无穷重数。
• 当 $\ell_k = 2^{-k}$ 时，$2^k \mathbb{Z}_{\text{odd}}$ 中的特征值重数为 $k$，且 $0$ 具有无穷重数。
• 当 $\ell_k / \ell_j$ 为无理数时，除 $0$ 外所有特征值的重数均为一，且 $0$ 具有无穷重数。
• 若 $B = \mathrm{diag}(e(\theta_k))$，则嵌入点谱变为 $\Lambda_p = \bigcup_{k=1}^\infty \left( \frac{\theta_k}{\ell_k} + \frac{1}{\ell_k}\mathbb{Z} \right)$，重数由 $\lambda \ell_k - \theta_k \in \mathbb{Z}$ 决定。
• 若 $\ell^2$ 上的约化酉矩阵 $B'$ 的谱与单位圆周不相交，则 $P_B$ 具有纯绝对连续谱，无点谱。