[论文解读] Spectral Theory of Unsigned and Signed Graphs. Applications to Graph Clustering: a Survey

Jean Gallier|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2016

Graph theory and applications参考文献 23被引用 42

一句话总结

本综述系统阐述了无符号图与有符号图的谱图理论，聚焦于图聚类中的归一化切割与比率切割。通过引入基于绝对权重的有符号拉普拉斯矩阵，首次将K路归一化聚类推广至有符号图，理论基础建立在射影空间与格拉斯曼流形之上，并通过黎曼几何建立解的比较机制。

ABSTRACT

This is a survey of the method of graph cuts and its applications to graph clustering of weighted unsigned and signed graphs. I provide a fairly thorough treatment of the method of normalized graph cuts, a deeply original method due to Shi and Malik, including complete proofs. The main thrust of this paper is the method of normalized cuts. I give a detailed account for K = 2 clusters, and also for K > 2 clusters, based on the work of Yu and Shi. I also show how both graph drawing and normalized cut K-clustering can be easily generalized to handle signed graphs, which are weighted graphs in which the weight matrix W may have negative coefficients. Intuitively, negative coefficients indicate distance or dissimilarity. The solution is to replace the degree matrix by the matrix in which absolute values of the weights are used, and to replace the Laplacian by the Laplacian with the new degree matrix of absolute values. As far as I know, the generalization of K-way normalized clustering to signed graphs is new. Finally, I show how the method of ratio cuts, in which a cut is normalized by the size of the cluster rather than its volume, is just a special case of normalized cuts.

研究动机与目标

• 提供归一化切割与比率切割用于图聚类的全面、自包含的阐述，包含完整证明与几何直觉。
• 通过引入基于绝对权重的有符号拉普拉斯矩阵，将谱聚类方法扩展至边权可为负的有符号图。
• 阐明聚类解在射影空间与格拉斯曼流形中的几何解释，引入正式的黎曼距离度量。
• 建立矩阵表示有效图划分的充要条件。
• 统一归一化切割与比率切割的概念，通过矩阵形式表明后者是前者的一种特例。

提出的方法

• 对无符号图使用图拉普拉斯矩阵 $ L = D - W $，并通过 $ \overline{L} = \overline{D} - W $ 将其推广至有符号图，其中 $ \overline{D} $ 使用边权的绝对值。
• 应用瑞利商与柯朗-费舍尔定理，推导归一化切割优化的谱松弛方法。
• 将K路聚类解建模为格拉斯曼流形 $ G(K,N) $ 的元素，将2路解建模为 $ (\mathbb{RP}^{N-1})^K $ 中的元组，实现几何比较。
• 引入两种黎曼距离：一种定义在实射影空间的积上，另一种定义在格拉斯曼流形上，用于评估解的接近程度。
• 通过将对称归一化拉普拉斯矩阵 $ L_{\mathrm{sym}} $ 替换为非归一化矩阵 $ L $，将比率切割重新表述为归一化切割的特例。
• 采用能量最小化与特征向量嵌入进行图绘制，利用拉普拉斯矩阵将节点定位在 $ \mathbb{R}^d $ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过谱松弛方法严格推导并推广K > 2聚类的归一化切割聚类？
• RQ2 K路图聚类中聚类解的正确几何框架是什么，可用于表示与比较？
• RQ3 归一化切割理论如何扩展至具有负边权（表示不相似性）的有符号图？
• RQ4 比率切割与归一化切割之间有何关系？比率切割能否嵌入归一化切割框架中？
• RQ5 矩阵表示图聚类中有效顶点划分的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 有符号拉普拉斯矩阵 $ \overline{L} = \overline{D} - W $ 始终为半正定，对于非平衡有符号图可能为正定，从而支持谱分析。
• 首次在此工作中将K路归一化聚类推广至有符号图，采用有符号拉普拉斯矩阵与基于格拉斯曼流形的解表示方法。
• 松弛的K路聚类解自然表示为格拉斯曼流形 $ G(K,N) $ 的元素，而非 $ \mathbb{R}^N $ 中的向量，提供了几何上一致的框架。
• 2路归一化切割解自然建模为 $ (\mathbb{RP}^{N-1})^K $ 中的元组，具有明确定义的黎曼距离以度量解的相似性。
• 通过将 $ L_{\mathrm{sym}} $ 替换为 $ L $，正式证明比率切割是归一化切割的特例，从而在单一谱框架下统一两种方法。
• 本文阐明：当且仅当矩阵的列是互不相交、非空且覆盖所有顶点的子集的指示向量，并满足正交性与归一化约束时，该矩阵才表示一个有效划分。