[论文解读] Spectral Transformation Algorithms for Computing Unstable Modes of Large Scale Power Systems

Licio H. Bezerra, Carlos Tomei|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出基于Möbius变换的谱变换算法，用于计算大规模稀疏非对称矩阵束在电力系统稳定性分析中产生的不稳定特征值（正实部）。通过将初始向量用一种新型Möbius扩展方法预处理矩阵束，并结合位移求逆迭代，该方法加速了对不稳定模态的收敛，同时抑制了向无穷大或已知特征值的虚假收敛，实现了高精度，且计算成本与标准位移求逆方法在3156×3156电力系统模型上的开销相当。

ABSTRACT

In this paper we describe spectral transformation algorithms for the computation of eigenvalues with positive real part of sparse nonsymmetric matrix pencils $(J,L)$, where $L$ is of the form $\pmatrix{M&0\cr 0&0}$. For this we define a different extension of Möbius transforms to pencils that inhibits the effect on iterations of the spurious eigenvalue at infinity. These algorithms use a technique of preconditioning the initial vectors by Möbius transforms which together with shift-invert iterations accelerate the convergence to the desired eigenvalues. Also, we see that Möbius transforms can be successfully used in inhibiting the convergence to a known eigenvalue. Moreover, the procedure has a computational cost similar to power or shift-invert iterations with Möbius transforms: neither is more expensive than the usual shift-invert iterations with pencils. Results from tests with a concrete transient stability model of an interconnected power system whose Jacobian matrix has order 3156 are also reported here.

研究动机与目标

• 开发高效的数值算法，用于计算来自电力系统暂态稳定模型的大规模稀疏非对称矩阵束中实部为正的特征值。
• 解决在形式为(J, L)且L = diag(M, 0)的奇异矩阵束谱变换中，向无穷大特征值虚假收敛的挑战。
• 通过将Möbius变换新颖地扩展至矩阵束，对初始向量进行预处理，以加速对不稳定模态的收敛。
• 抑制对已计算特征值的收敛，提升识别多个不稳定模态的鲁棒性。
• 在真实3156×3156电力系统雅可比矩阵上，展示计算效率与精度。

提出的方法

• 为奇异矩阵束(J, L)提出Möbius变换的新扩展，以在迭代计算中抑制无穷大特征值的影响。
• 使用Möbius变换系统进行位移求逆迭代，以加速收敛至实部为正的特征值。
• 通过将初始向量p次乘以Möbius变换矩阵Cσ并随后归一化，实现预处理。
• 采用基于残差的停止准则，容差tol = 1e-4，每t=4次迭代更新位移。
• 将Cayley变换作为Möbius变换的特例，选择σ以最大化不稳定特征值的分离度。
• 使用(J - aL)的LU分解求解线性系统，计算成本以LU分解和矩阵-向量乘积数量衡量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为奇异矩阵束(J, L)定义一种改进的Möbius变换，以防止向无穷大特征值的收敛？
• RQ2 在大规模电力系统中，使用Möbius变换对初始向量进行预处理，是否能显著提高对不稳定特征值的收敛速度？
• RQ3 Möbius变换是否能有效抑制迭代计算中对已知特征值的收敛？
• RQ4 与标准位移求逆方法相比，所提出的谱变换算法在精度和计算成本方面表现如何？
• RQ5 在真实3156×3156电力系统模型中，最优σ选择对不稳定模态收敛行为有何影响？

主要发现

• 所提算法成功计算出三个不稳定特征值（包括复共轭对-0.1144±10.617i和-0.1764±6.1231i）以及三个稳定模态，精度极高，残差低于1e-10。
• 当σ=4.8334（该值使变换后不稳定特征值的模最大）时，经p=80次预处理后，仅用6–13次迭代即实现对不稳定对0.1814±4.8323i的收敛。
• 采用特征值抑制技术后，检测第二个不稳定模态的迭代次数从13次减少至7次，表明在识别多个不稳定模态方面效率显著提升。
• 所提方法的计算成本与标准位移求逆迭代相当，仅需15+1次LU分解和356次矩阵-向量乘积（196+160）即可计算出所有不稳定模态。
• 对于最精确的特征值近似，算法残差达到1e-10量级，表明具有极高的数值精度。
• 结果中未出现虚假模态，证实该方法能有效抑制向无穷大特征值及已知特征值的收敛。