[论文解读] Spectral Triples on Carnot Manifolds

Stefan Hasselmann|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究Carnot流形上的谱三元组，以检测Carnot-Carathéodory度量和分次维数。它构造了能通过Connes公式检测度量的水平Dirac算子，但表明这些算子不具备拟椭圆性且解析延拓不紧致。相反，本文提出通过Heisenberg伪微分形式化构造谱三元组，利用水平Laplacian算子，证明在假设7.3.2成立时，这些算子可通过特征值渐近行为和Connes度量公式近似Carnot-Carathéodory度量。

ABSTRACT

We analyze whether one can construct a spectral triple for a Carnot manifold $M$, which detects its Carnot-Carathéodory metric and its graded dimension. Therefore we construct self-adjoint horizontal Dirac operators $D^H$ and show that each horizontal Dirac operator detects the metric via Connes' formula, but we also find that in no case these operators are hypoelliptic, which means they fail to have a compact resolvent. First we consider an example on compact Carnot nilmanifolds in detail, where we present a construction for a horizontal Dirac operator arising via pullback from the Dirac operator on the torus. Following an approach by Christian Bär to decompose the horizontal Clifford bundle, we detect that this operator has an infinite dimensional kernel. But in spite of this, in the case of Heisenberg nilmanifolds we will be able to discover the graded dimension from the asymptotic behavior of the eigenvalues of this horizontal Dirac operator. Afterwards we turn to the general case, showing that any horizontal Dirac operator fails to be hypoelliptic. Doing this, we develop a criterion from which hypoellipticity of certain graded differential operators can be excluded by considering the situation on a Heisenberg manifold, for which a complete characterization of hypoellipticity in known by the Rockland condition. Finally, we show how spectral triples can be constructed from horizontal Laplacians via the Heisenberg pseudodifferential calculus developed by Richard Beals and Peter Greiner. We suggest a few of these constructions, and discuss under which assumptions it may be possible to get an equivalent metric to the Carnot-Carathéodory metric from these operators. In addition, we mention a formula by which the Carnot-Carathéodory metric can be detected from arbitrary horizontal Laplacians.

研究动机与目标

• 确定是否可在Carnot流形上构造谱三元组以检测Carnot-Carathéodory度量和分次维数。
• 分析水平Dirac算子的局限性，特别是其不具备拟椭圆性且解析延拓不紧致的问题。
• 提出使用水平Laplacian算子和Heisenberg伪微分形式化构造谱三元组的替代方法。
• 研究此类算子的Connes度量在何种条件下可近似Carnot-Carathéodory度量。
• 建立一种通过约化至Heisenberg情形来排除分次微分算子拟椭圆性的判据。

提出的方法

• 通过从紧致Carnot幂零流形上的环面Dirac算子拉回，构造自伴的水平Dirac算子。
• 应用Christian Bär的水平Clifford丛分解方法，分析Dirac算子的核。
• 证明尽管不具备拟椭圆性，水平Dirac算子仍能通过Connes公式检测Carnot-Carathéodory度量。
• 利用Heisenberg伪微分形式化（Beals-Greiner）从水平Laplacian算子构造谱三元组。
• 提出正则化算子 $ D^\theta_H = D_H + \theta P (\Delta_H)^{1/2} P $ 以恢复拟椭圆性并实现紧致解析延拓。
• 依赖于假设7.3.2，该假设假设存在统一有界性 $ \|[P,f]\| \leq C \cdot \mathrm{Lip}_{CC}(f) $，以确保度量近似成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 Carnot流形上的谱三元组能否检测Carnot-Carathéodory度量和分次维数？
• RQ2 为何水平Dirac算子不具备拟椭圆性？这对谱三元组有何影响？
• RQ3 在何种条件下，由水平Laplacian算子构造的谱三元组可近似Carnot-Carathéodory度量？
• RQ4 Heisenberg幂零流形上水平Dirac算子的特征值渐近行为能否恢复分次维数？
• RQ5 是否存在一种可行的方法在Carnot流形上构造具有紧致解析延拓的谱三元组？

主要发现

• 水平Dirac算子通过Connes公式可检测Carnot-Carathéodory度量，但不具备拟椭圆性且解析延拓不紧致。
• 在Heisenberg幂零流形上，可通过水平Dirac算子的特征值渐近行为恢复分次维数。
• 在紧致Carnot幂零流形上，水平Dirac算子具有无限维核，此结论通过Clifford丛分解方法得以证明。
• 正则化算子 $ D^\theta_H = D_H + \theta P (\Delta_H)^{1/2} P $ 具备拟椭圆性，并定义了一个具有紧致解析延拓的谱三元组。
• 若假设7.3.2成立，则当 $ \theta \to 0 $ 时，$ D^\theta_H $ 的Connes度量收敛于Carnot-Carathéodory度量。
• 本文提供了一种公式，可从任意水平Laplacian算子检测Carnot-Carathéodory度量，且不依赖于具体算子的选择。