[论文解读] Spectrum and eigen functions of the operator $H_U f(x)\equiv f(U-1/x)/x^2$ and strange attractor's density for the mapping $x_{n+1}=1/(U-x_n)$

G. G. Kozlov|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 6

一句话总结

本文求解了非厄米算符 $ H_U f(x) = f(U - 1/x)/x^2 $ 的谱问题，为 $ |U| < 2 $ 的情形推导出精确的本征函数与本征值，并建立了该算符与映射 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ 的奇异吸引子不变密度之间的直接联系。关键结果是给出了吸引子密度的显式公式：$ \rho(z) = \frac{\sqrt{4 - U^2}}{2\pi(z^2 - U z + 1)} $，该结果已通过数值模拟验证。

ABSTRACT

We solve exactly the spectral problem for the non-Hermitian operator $H_U f(x)\equiv f(U-1/x)/x^2$. Despite the absence of orthogonality, the eigen functions of this operator allow one to construct in a simple way the expansion of an arbitrary function in series. Explicit formulas for the expansion coefficients are presented. This problem is shown to be connected with that of calculating the strange attractor's density for the map $x_{n+1}=1/(U-x_n)$. The explicit formula for the strange attractor's density for this map is derived. All results are confirmed by direct computer simulations.

研究动机与目标

• 求解非厄米算符 $ H_U f(x) = f(U - 1/x)/x^2 $ 在有限性条件与 $ |U| < 2 $ 条件下的谱问题。
• 建立 $ H_U $ 的本征函数与映射 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ 的奇异吸引子不变密度之间的联系。
• 在 $ |U| < 2 $ 范围内，推导出奇异吸引子密度的显式解析公式。
• 通过直接计算机模拟验证解析结果。

提出的方法

• 通过迭代算符 $ H_U $ 并分析泛函方程 $ H_U \sigma = \lambda \sigma $，推导出本征函数 $ \sigma_U^\lambda(x) $。
• 利用变换 $ T x = U - 1/x $，将本征函数的递推关系表示为 $ \sigma(x) = \lambda^{-n} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} T^k x \right]^{-2} \sigma(T^n x) $。
• 确定本征值 $ \lambda $ 必须满足 $ |\lambda| = 1 $，即 $ \lambda = e^{i\phi} $，以保证本征函数在算符迭代下保持有限。
• 将本征函数构造为 $ \sigma(x) = \mathcal{L}_U(x) e^{i\theta(x)} $，其中 $ \mathcal{L}_U(x) = \frac{\sqrt{4 - U^2}}{2\pi(x^2 - Ux + 1)} $ 为洛伦兹密度。
• 通过有理函数假设 $ G(x) = (1 + a x)/(1 + b x) $ 求解泛函方程 $ \theta(U - 1/x) - \theta(x) = \phi + 2\pi M(x) $，得到 $ \theta(x) = 2 \arctan\left( \frac{x \sin\phi}{x(1 + \cos\phi) - U} \right) $。
• 将吸引子密度 $ \rho(z) $ 确认为 $ H_U $ 的本征值为 1 的本征函数，从而确认其与 $ \mathcal{L}_U(z) $ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ |U| < 2 $，非厄米算符 $ H_U f(x) = f(U - 1/x)/x^2 $ 的本征值与本征函数是什么？
• RQ2 算符 $ H_U $ 的谱结构如何与映射 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ 的奇异吸引子不变密度相关联？
• RQ3 在混沌区域 $ |U| < 2 $ 内，能否推导出奇异吸引子密度的显式解析公式？
• RQ4 泛函方程 $ \rho(z) = \frac{1}{z^2} \rho(U - 1/z) $ 在确定吸引子密度时起到何种作用？
• RQ5 尽管缺乏正交性，$ H_U $ 的本征函数如何实现任意函数的级数展开？

主要发现

• 当 $ \sqrt{2} < |U| < 2 $ 时，$ H_U $ 的本征函数形式为 $ \sigma_U^\lambda(x) = \mathcal{L}_U(x) e^{i\theta(x)} $，其中 $ \theta(x) = 2 \arctan\left( \frac{x \sin\phi}{x(1 + \cos\phi) - U} \right) $，且 $ \phi = \arctan\left( \frac{|U|\sqrt{4 - U^2}}{U^2 - 2} \right) $；当 $ |U| < \sqrt{2} $ 时，$ \phi = \arctan\left( \frac{|U|\sqrt{4 - U^2}}{U^2 - 2} \right) + \pi $。
• 为保证本征函数在算符迭代下保持有限，本征值必须满足 $ |\lambda| = 1 $，即 $ \lambda = e^{i\phi} $。
• 映射 $ x_{n+1} = 1/(U - x_n) $ 的奇异吸引子不变密度为 $ \rho(z) = \frac{\sqrt{4 - U^2}}{2\pi(z^2 - U z + 1)} $，该表达式正是 $ H_U $ 的本征值为 1 的本征函数。
• 对于 $ |U| < 2 $ 范围内不同 $ U $ 值的数值模拟结果与推导出的密度公式完全一致。
• 当 $ |U| > 2 $ 时，吸引子密度退化为在 $ z = 1/\theta $ 或 $ z = 1/\xi $ 处的狄拉克函数，具体取决于乘子 $ \ae $ 的取值。
• 泛函方程 $ \rho(z) = \frac{1}{z^2} \rho(U - 1/z) $ 源于映射的动力学，唯一确定了吸引子密度为 $ H_U $ 谱问题的解。