[论文解读] Spectrum of a Feinberg-Zee Random Hopping Matrix

Simon N. Chandler‐Wilde, E. B. Davies|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提供了关于费因伯格-祖随机跳跃矩阵谱的新证明，该矩阵的独立同分布条目取值于 \{\pm\sigma\}，几乎必然包含单位圆盘中不在孔洞 $ H_\sigma $ 内的部分，其中 $ H_\sigma $ 由 $ \sigma < 1 $ 引起。分析结合了算子恒等式、周期序列上的谱计算以及李亚普诺夫指数界，证明当 $ \sigma \in (0,1) $ 时，谱几乎必然包含 $ \{ \lambda : |\lambda| < 1 \} \setminus H_\sigma $，扩展了此前 $ \sigma = 1 $ 时谱包含整个单位圆盘的结果。

ABSTRACT

This paper provides a new proof of a theorem of Chandler-Wilde, Chonchaiya and Lindner that the spectra of a certain class of infinite, random, tridiagonal matrices contain the unit disc almost surely. It also obtains an analogous result for a more general class of random matrices whose spectra contain a hole around the origin. The presence of the hole forces substantial changes to the analysis.

研究动机与目标

• 重新推导并扩展费因伯格-祖随机跳跃矩阵在 $ \sigma = 1 $ 时谱几乎必然包含单位圆盘的结果。
• 分析当 $ \sigma < 1 $ 时的谱，此时由于非对角元素幅值减小，在原点附近出现一个孔洞 $ H_\sigma $。
• 利用伪遍历序列上的非概率方法，证明谱包含单位圆盘中位于 $ H_\sigma $ 之外的部分。
• 建立有限矩阵与无限矩阵谱之间的联系，表明有限矩阵的特征值位于无限矩阵谱的缩放版本之内。

提出的方法

• 利用先前工作中得到的算子恒等式，重新推导 $ \sigma = 1 $ 的情形，此时谱几乎必然包含整个单位圆盘。
• 应用扰动论证，证明 $ \mathrm{Spec}(A_c) \subseteq \{ \lambda : 1 - \sigma \leq |\lambda| \leq 1 + \sigma \} $。
• 利用数值范围的界，推导出包含关系 $ \mathrm{Spec}(A_c) \subseteq \{ x + iy : |x| + |y| \leq \sqrt{2(1 + \sigma^2)} \} $。
• 结合 $ \mathbb{Z}^+ $ 和 $ \mathbb{Z}^- $ 上周期算子的结果，以及具有任意大周期的序列上的谱计算。
• 利用转移矩阵的李亚普诺夫指数界，为 $ \sigma \in (0,1) $ 的主要结果提供第二种证明。
• 应用极限算子理论及 Lindner 和 Roch 的结果，分析半无限矩阵情形，证明当 $ \sigma \in (0,1) $ 时不存在孔洞。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \sigma < 1 $ 时，费因伯格-祖随机跳跃矩阵的谱是否仍包含单位圆盘，尽管原点附近存在一个孔洞？
• RQ2 谱孔 $ H_\sigma $ 是否可以显式刻画，且谱是否包含单位圆盘减去该孔洞的部分？
• RQ3 在 $ \sigma < 1 $ 的情形下，有限矩阵与半无限矩阵的谱如何与无限矩阵谱相关联？
• RQ4 能否使用非概率方法（如基于伪遍历序列的方法）来刻画几乎必然谱？
• RQ5 李亚普诺夫指数在确定非自伴随机三对角矩阵谱结构中的作用是什么？

主要发现

• 当 $ \sigma \in (0,1) $ 时，无限矩阵 $ A_c $ 的谱几乎必然包含 $ \{ \lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| < 1 \} \setminus H_\sigma $，其中 $ H_\sigma $ 是两个椭圆区域的交集。
• 谱包含于环形区域 $ \{ \lambda : 1 - \sigma \leq |\lambda| \leq 1 + \sigma \} $ 内，该结果通过扰动理论得出。
• 谱还受 $ \ell^1 $-范数球 $ \{ x + iy : |x| + |y| \leq \sqrt{2(1 + \sigma^2)} \} $ 的限制，该界由数值范围导出。
• 当 $ \sigma = 1 $ 时，谱几乎必然包含整个单位圆盘，与先前结果一致。
• 有限矩阵 $ A_c^{(N)} $ 与周期矩阵 $ A_c^{(N,\text{per})} $ 的谱分别位于 $ \sqrt{\sigma} \pi_{\infty} $ 与 $ \pi_{\infty,\sigma} $ 内，其特征值受约束于 $ |x| + |y| \leq 2\sqrt{\sigma} $ 与 $ |x| + |y| \leq \sqrt{2(1 + \sigma^2)} $。
• 数值图显示 $ A_c^{(N,\text{per})} $ 的谱中存在半径约为 0.6 的孔洞，远大于 $ \sigma = 0.9025 $ 时理论下界 $ 1 - \sigma \approx 0.0975 $，表明该下界并不紧。