[论文解读] Spectrum of Laplacians for Graphs with Self-Loops

Behçet Açıkmeşe|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Graph theory and applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过定义伪连通图和向无环图的提升变换，对带有自环的无向图的拉普拉斯矩阵进行了谱分析。证明了此类图的拉普拉斯矩阵的特征值包含在提升图的正谱之内，且有界于 $2d(\text{G}^o) + 1$，从而为去中心化控制系统的稳定性分析提供了支持。

ABSTRACT

This note introduces a result on the location of eigenvalues, i.e., the spectrum, of the Laplacian for a family of undirected graphs with self-loops. We extend on the known results for the spectrum of undirected graphs without self-loops or multiple edges. For this purpose, we introduce a new concept of pseudo-connected graphs and apply a lifting of the graph with self-loops to a graph without self-loops, which is then used to quantify the spectrum of the Laplacian for the graph with self-loops.

研究动机与目标

• 将拉普拉斯矩阵的谱界从无环图扩展到带有自环的图。
• 定义并形式化伪连通图的概念，即每个连通分量至少包含一个自环的无向图。
• 提出一种将带有自环的图映射为大小为 $2N+1$ 个顶点的无环图的提升技术。
• 建立原图拉普拉斯矩阵的特征值包含于提升图谱中的关系。
• 提供可用于去中心化控制与估计系统中稳定性分析的定量谱界。

提出的方法

• 引入伪连通图的概念：无向、无自环的图，其中每个连通分量至少包含一个自环。
• 定义提升图 $\hat{\mathbf{G}}$，其包含 $2N+1$ 个顶点：对 $\mathbf{G}$ 中的每个顶点 $i$，包含 $i$ 和 $i+N+1$，外加一个中心顶点 $N+1$。
• 利用 $E^o$（$\mathbf{G}^o$ 的边）和自环选择矩阵 $S$，构建提升图的边-顶点关联矩阵 $\hat{E}$。
• 推导提升图的拉普拉斯矩阵为 $\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}}) = \hat{E}^T \hat{E}$，其包含原边的块以及与中心节点的连接块。
• 通过特征向量 $[v \; 0 \; -v]^T$ 证明，$\mathcal{L}(\mathbf{G})$ 的任意特征值 $\psi$ 也是 $\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}})$ 的特征值。
• 利用不等式 $\mathcal{L}(\mathbf{G}) \leq \mathcal{L}(\mathbf{G}^o) + I$ 推导出 $\max\sigma(\mathcal{L}(\mathbf{G})) \leq 2d(\mathbf{G}^o) + 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 自环如何影响图拉普拉斯矩阵的特征值分布？
• RQ2 何种结构条件可确保带有自环的图的拉普拉斯矩阵正定？
• RQ3 能否通过映射到无环图来对带有自环的拉普拉斯矩阵谱进行有界分析？
• RQ4 带有自环的图的特征值与提升后的无环图的特征值之间存在何种关系？
• RQ5 如何利用拉普拉斯矩阵的谱界实现去中心化控制系统中的稳定性分析？

主要发现

• 任意无向自环图的拉普拉斯矩阵正定，当且仅当该图是伪连通图。
• 对于带有自环的图，$\mathcal{L}(\mathbf{G})$ 的所有特征值均包含在提升图 $\hat{\mathbf{G}}$ 的谱中，即 $\sigma(\mathcal{L}(\mathbf{G})) \subseteq \sigma(\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}}))$。
• 对于伪连通图，$\mathcal{L}(\mathbf{G})$ 的特征值包含在 $\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}})$ 的正谱中，即 $\sigma(\mathcal{L}(\mathbf{G})) \subseteq \sigma_+(\mathcal{L}(\hat{\mathbf{G}}))$。
• $\mathcal{L}(\mathbf{G})$ 的最大特征值有上界 $2d(\mathbf{G}^o) + 1$，其中 $d(\mathbf{G}^o)$ 为无环子图 $\mathbf{G}^o$ 的最大度。
• 提升构造保持了特征值的包含关系，并可通过已知的无环图谱界实现谱分析。
• 该结果为将去中心化观测器的稳定性证明扩展至含自环的系统提供了理论基础。