[论文解读] Speed of random walks, isoperimetry and compression of finitely generated groups

Jérémie Brieussel, Tianyi Zheng|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 52被引用 17

一句话总结

该论文通过构造哑铃工群的新型对角积，解决了指数增长有限生成群中速度、熵、等周性、返回概率以及 $L_p$-压缩性的逆问题。论文推导出 $p \in [1,2]$ 时，与 $\mathbb{Z}$ 的半直积的 $L_p$-压缩指数的公式，证明了 Amir 关于速度与熵指数联合评估的猜想，并通过一类具有受控几何与概率不变量的新群类，给出了不可数多个两两非拟等距可解群存在的新证明。

ABSTRACT

We give a solution to the inverse problem (given a function, find a corresponding group) for large classes of speed, entropy, isoperimetric profile, return probability and $L_p$-compression functions of finitely generated groups of exponential volume growth. For smaller classes, we give solutions among solvable groups. As corollaries, we prove a recent conjecture of Amir on joint evaluation of speed and entropy exponents and we obtain a new proof of the existence of uncountably many pairwise non-quasi-isometric solvable groups, originally due to Cornulier and Tessera. We also obtain a formula relating the $L_p$-compression exponent of a group and its wreath product with the cyclic group for $p$ in $[1,2]$.

研究动机与目标

• 解决逆问题：给定一个函数，构造一个有限生成群，使其几何与概率不变量（速度、熵、等周性、返回概率、$L_p$-压缩性）渐近匹配该函数。
• 将已知的体积增长与熵的逆结果扩展至包括指数体积增长群中的速度、等周轮廓与 $L_p$-压缩性。
• 提出一种新构造方法——哑铃工群的对角积，该方法脱离基于根树的典型置换半直积框架。
• 证明 Amir 关于可迁群中速度与熵指数联合评估的猜想。
• 通过新的几何不变量，给出可解群存在不可数多个两两非拟等距群的全新证明，该结果最初由 Cornulier 和 Tessera 所提出。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{Z}_2 \wr D_{2n_s}^d$ 的有限商序列，构造对角积群 $\mathbb{Z}_2 \wr D_{2n_s}^d$。
• 利用基图 $D_{2n_s}^d$ 上的随机游动动力学，通过访问的站点数与灯配置控制哑铃工群的速度与熵。
• 应用 Nash 不等式与对角热核衰减估计，以控制基随机游动中的返回概率与灯访问时间。
• 利用恒等式 $|X_{2t}| \geq \sigma_d t$（其中 $\sigma_d > 0$）将哑铃工群中的词长与基游动访问的不同站点数联系起来。
• 利用可迁群中等变与非等变 $L_p$-压缩性之间的等价性，推导出 $\Delta \wr \mathbb{Z}$ 的 $L_p$-压缩指数公式。
• 通过函数之间的乘法常数等价关系（$f \simeq g$）定义渐近不变量，使其与拟等距无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何次线性函数是否都能作为指数体积增长有限生成群的速度指数实现？
• RQ2 如 Amir 所猜想，可迁群中速度与熵指数的联合行为是否能同时实现？
• RQ3 对于 $p \in [1,2]$，$\Delta \wr \mathbb{Z}$ 的 $L_p$-压缩指数如何用 $\Delta$ 的压缩性表示？
• RQ4 在指数增长群中，等周轮廓与返回概率的逆问题是否可解？
• RQ5 是否存在不可数多个两两非拟等距的可解群？能否通过新的几何不变量证明这一点？

主要发现

• 论文为任意在 $n^{0.77}$ 与 $n$ 之间的正则函数 $f(n)$ 构造了群，其体积增长为 $e^{f(n)}$（至多乘以常数因子），从而在可迁情形下解决了体积增长的逆问题。
• 对于任意在 $\sqrt{n}$ 与 $n^\gamma$（$\gamma < 1$）之间的函数，存在一个群及一个具有紧支集的测度，其熵增长与该函数至多相差常数因子，从而证实了 Amir 与 Virag 的结果。
• 对于任意在 $n^{3/4}$ 与 $n^\gamma$（$\gamma < 1$）之间的函数，存在一个群及一个测度，其速度增长与该函数至多相差常数因子，从而解决了速度的逆问题。
• $\Delta \wr \mathbb{Z}$ 在 $p \in [1,2]$ 时的 $L_p$-压缩指数为 $\kappa_p(\Delta \wr \mathbb{Z}) = \frac{\kappa_p(\Delta)}{2}$，其中 $\kappa_p$ 表示 $L_p$-压缩指数。
• 通过构造同时且独立实现两个指数的群，论文证明了 Amir 关于速度与熵指数联合评估的猜想。
• 该构造产生了不可数多个两两非拟等距的可解群，从而为 Cornulier 与 Tessera 的结果提供了新证明。