[论文解读] Spherical Hall algebras of a weighted projective curve

Jyun-Ao Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文为任意亏格 $g$ 的光滑射影曲线上的抛物向量丛的球面 Hall 代数 $Σ^{>}\,$ 建立了一种类置换的表示形式，证明其包含所有 Harder-Narasimhan strata 的特征函数。此外，还表明秩-1 部分 $\mathbf{U}^{>}[1]$ 在类型 $A$ 的量子仿射代数的张量积上具有自然的模结构，同构于仿射极小权模的乘积，从而证明了 Schiffmann 关于抛物丛的 Kac 多项式存在的猜想。

ABSTRACT

In this article, we deal with the structure of the spherical Hall algebra of coherent sheaves with parabolic structures on a smooth projective curve of arbitrary genus. We provide a shuffle-like presentation of the vector bundle part and show the existence of the generic form. We also prove that the spherical Hall algebra contains the characteristic functions on all the Harder-Narasimhan strata. These results together imply Schiffmann's theorem on the existence of Kac polynomials for quasi-parabolic vector bundles of fixed rank and multi-degree over the curve. On the other hand, the shuffle structure we obtained is new and we make links to the representations of quantum affine algebras of type A.

研究动机与目标

• 理解光滑射影曲线（任意亏格 $g$）上抛物凝聚层的球面 Hall 代数 $\mathbf{U}$ 的代数结构。
• 将 Schiffmann 计算 Higgs 纤维丛模空间 Poincaré 多项式的技巧推广至抛物情形。
• 为 $\mathbf{U}$ 的丛部分 $\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ 建立类置换的表示形式，推广非抛物情形的结果。
• 证明 $\mathbf{U}$ 包含所有 Harder-Narasimhan strata 的特征函数，这是证明 Kac 多项式存在的关键步骤。
• 通过模同构将 $\mathbf{U}^{>}[1]$ 的结构与量子仿射代数 $\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_i})$ 的张量积联系起来，进而联系到极小权模。

提出的方法

• 在亏格 $g$ 的光滑射影曲线 $X$ 上引入（拟-）抛物凝聚层的概念，构成一个遗传的阿贝尔范畴。
• 将球面 Hall 代数 $\mathbf{U}$ 定义为由抛物扭量层和抛物线丛的特征函数生成的子代数。
• 通过有理函数 $h(z)\in \mathbb{C}(z)$ 和作用于 $\mathbb{C}[z^{\pm 1}]\otimes \bigotimes_{p\in S} V_p$ 上张量积的算子 $\Gamma_h(z/z')$，在 $\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ 上构造一种类置换的代数结构。
• 证明 $\mathbf{U}^{>}[1]$ 是 $\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_1})\otimes \cdots \otimes \mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_N})$ 的模，且同构于 $V(\varpi_{1,1})\otimes \cdots \otimes V(\varpi_{N,1})$，即仿射极小权模的乘积。
• 通过归纳法和涉及算子 $I_{p,j}(i)$ 的递推关系，验证生成元之间的对易关系，从而证明模结构与类置换代数表示。
• 应用迭代的余乘法与常数项映射，证明所有 Harder-Narasimhan strata 的特征函数属于 $\mathbf{U}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑射影曲线（亏格 $g$）上抛物凝聚层的球面 Hall 代数 $\mathbf{U}$ 是否包含所有 Harder-Narasimhan strata 的特征函数？
• RQ2 丛部分 $\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ 是否可赋予类置换的代数结构？
• RQ3 秩-1 部分 $\mathbf{U}^{>}[1]$ 是否自然地成为量子仿射代数 $\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_i})$ 张量积的模？
• RQ4 $\mathbf{U}^{>}[1]$ 是否同构于仿射极小权模 $V(\varpi_{i,1})$ 的乘积？
• RQ5 此类结构的存在是否意味着固定秩与多重度的抛物向量丛存在 Kac 多项式？

主要发现

• 球面 Hall 代数 $\mathbf{U}$ 包含所有 Harder-Narasimhan strata 的特征函数，这是其关键结构性质。
• 丛部分 $\mathbf{U}^{>}\subset \mathbf{U}$ 可通过作用于 $V\widehat{\otimes}V$ 上的算子 $\Gamma_h(z/z')$ 实现类置换表示，推广了非抛物情形的结果。
• 秩-1 部分 $\mathbf{U}^{>}[1]$ 在 $\mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_1})\otimes \cdots \otimes \mathbf{U}_v(\widehat{\mathfrak{sl}}_{w_N})$ 上具有自然的模结构，且通过归纳法验证了显式的对易关系。
• $\mathbf{U}^{>}[1]$ 同构于仿射极小权模的张量积 $V(\varpi_{1,1})\otimes \cdots \otimes V(\varpi_{N,1})$，这些模是不可约的，并且具有晶体基。
• $\mathbf{U}$ 的代数结构意味着 Schiffmann 关于固定秩与多重度的抛物向量丛的 Kac 多项式存在的定理，将他早期的结果推广至抛物情形。
• 在 $\mathbf{U}^{>}[1]$ 上的 Hecke 作用不与 tame ramification 的 Iwahori-Hecke 代数同构，暗示了抛物结构下存在一种新颖的 Schur-Weyl 对偶性。