[论文解读] Spherical Redshift Distortions

A. Hamilton, Michael Culhane|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 1995

Astronomy and Astrophysical Research参考文献 2被引用 54

一句话总结

本文提出了一套严格的框架，通过在球面几何中处理红移畸变而非标准的平面平行近似，来测量宇宙学增长速率β。该方法引入了对数导数算子 ∂/∂ln r，该算子与球面畸变算子可交换，并定义了一个尺度不变的本征函数基，从而实现对功率谱形状不敏感的β测量。

ABSTRACT

Peculiar velocities induce apparent line of sight displacements of galaxies in redshift space, distorting the pattern of clustering in the radial versus transverse directions. On large scales, the amplitude of the distortion yields a measure of the dimensionless linear growth rate $β\approx Ω^{0.6}/b$, where $Ω$ is the cosmological density and $b$ the linear bias factor. To make the maximum statistical use of the data in a wide angle redshift survey, and for the greatest accuracy, the spherical character of the distortion needs to be treated properly, rather than in the simpler plane parallel approximation. In the linear regime, the redshift space correlation function is described by a spherical distortion operator acting on the true correlation function. It is pointed out here that there exists an operator, which is essentially the logarithmic derivative with respect to pair separation, which both commutes with the spherical distortion operator, and at the same time defines a characteristic scale of separation. The correlation function can be expanded in eigenfunctions of this operator, and these eigenfunctions are eigenfunctions of the distortion operator. Ratios of the observed amplitudes of the eigenfunctions yield measures of the linear growth rate $β$ in a manner independent of the shape of the correlation function. More generally, the logarithmic derivative $\partial/\partial\ln r$ with respect to depth $r$, along with the square $L^2$ and component $L_z$ of the angular momentum operator, form a complete set of commuting operators for the spherical distortion operator acting on the density. The eigenfunctions of this complete set of operators are spherical waves about the observer, with radial part lying in logarithmic real or Fourier space.

研究动机与目标

• 为克服平面平行近似在红移空间畸变分析中的局限性，该近似限制了角向基线并引入系统误差。
• 发展一种理论上一致的红移畸变处理方法，考虑观测者周围星系位移的真实径向几何结构。
• 实现宇宙学中线性增长速率β的精确测量，且不依赖于底层功率谱的形状。
• 提出一种方法，在广角巡天中通过包含所有星系对而非仅小角间距的星系对，最大化统计效能。
• 建立球面畸变算子的一组完整对易算子，从而导出物理上有意义的本征函数。

提出的方法

• 引入对数导数算子 ∂/∂ln r₁₂|△ 作为关键工具，该算子与球面畸变算子可交换，并定义了特征分离尺度。
• 推导出一组完整的对易算子：对数导数、角动量平方 L² 及其 z 分量 L_z，这些算子可对角化畸变算子。
• 将红移空间相关函数展开为这些算子的本征函数，其形式为具有对数或傅里叶空间径向依赖性的球面波。
• 定义了五个函数 Ξᵢˢ(r₁₂)（公式 77–81），将平面平行情况下的单极、四极和十六极谐函数推广至完整的球面几何。
• 使用加权函数 W(r₁₂, △) 将相关函数投影到本征函数基上，从而实现从数据中实际测量β。
• 引入去卷积程序，以校正径向和角向方向的巡天选择函数，确保对 ξˢ(r₁₂, △) 的无偏估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在球面几何中准确建模红移空间畸变，以避免平面平行近似的误差？
• RQ2 哪种数学算子与球面畸变算子可交换，并定义一个物理上有意义的分离尺度？
• RQ3 能否利用尺度不变算子的本征函数，实现对线性增长速率β的测量，且不依赖于功率谱形状？
• RQ4 在配置空间中，能够对角化球面畸变算子的完整对易算子集是什么？
• RQ5 如何将所得的本征函数展开实际应用于存在选择函数效应的真实红移巡天数据？

主要发现

• 对数导数算子 ∂/∂ln r₁₂|△ 与球面畸变算子可交换，并定义了特征分离尺度，从而实现尺度不变的分析。
• 该算子的本征函数也是畸变算子的本征函数，使得相关函数可在一个保持畸变物理本质的基中展开。
• 这些本征函数观测振幅的比值可直接提供不依赖于形状的β增长速率测量。
• 该方法将平面平行情况下的单极、四极和十六极谐函数推广为五个函数 Ξᵢˢ(r₁₂)，可在广角巡天中测量。
• 假设径向选择函数的对数斜率恒定的近似已足够实用，并可通过一个可检验的条件（公式 89）验证其有效性。
• 去卷积程序能有效消除巡天选择函数引起的虚假各向异性，从而实现对 ξˢ(r₁₂, △) 的无偏测量。