[论文解读] Spherical representations of $C^*$-flows I

Yoshimichi Ueda|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Advanced Operator Algebra Research被引用 2

一句话总结

本文通过将奥尔申斯基（Olshanski）针对无限维群的球面对表示框架推广，提出了C*-流——带有单参数自同构群的C*-代数——的广义表示理论。它建立了源自图链接的投影链与配备流结构的C*-代数归纳极限之间的对应关系，表明任何此类链均可自然地通过KMS态和β-球面对向量从C*-流中导出，从而统一了表示论的可积概率与算子代数结构。

ABSTRACT

We propose an abstract framework of a kind of representation theory for $C^*$-flows, i.e., $C^*$-algebras equipped with one-parameter automorphism groups, as a proper generalization of Olshanski's formalism of unitary representation theory for infinite-dimensional groups such as the infinite-dimensional unitary group $\mathrm{U}(\infty)$. The present framework, in particular, clarifies some overlaps and/or similarities between a certain unitary representation theory of infinite-dimensional groups and existing works in operator algebras, and captures arbitrary projective chains arising from links.

研究动机与目标

• 将奥尔申斯基针对无限维群的球面对表示理论推广至C*-流框架。
• 阐明无限维群的酉表示理论与算子代数构造（如KMS态和AF代数）之间的联系。
• 在可积概率的背景下，为分支图与链接的投影链提供C*-代数实现。
• 建立具有连续流和图上正权重链接的原子W*-代数归纳系统之间的对应关系。
• 通过将KMS态和流纳入更广泛的算子代数框架，扩展佐藤（Sato）对量子群归纳极限的研究。

提出的方法

• 为C*-流提出(αt, β)-球面对表示，通过KMS态推广酉球面对表示。
• 利用沃罗诺维奇（Woronowicz）的KMS存在性结果，将β-球面对向量与C*-代数归纳极限上的KMS态联系起来。
• 从图(Z, E, r, s)、多重性函数m和正权重函数κ(e) > 0出发，通过迹类正算子ρe（满足Tre(ρe) = κ(e)）在C*-代数归纳极限A = lim→An上构造流αt。
• 通过自伴算子He = −1/β log ρe上的函数演算，定义流为αt = (ρ−it/β_e)_e∈E。
• 证明所得流通过κ(αt,β)(z,z′) = κ(e)在(z,z′) = (r(e), s(e))时（e ∈ En），诱导出原始链接Zn−1 ←κ Zn。
• 应用遍历方法与谱分解，分析球面对表示的结构及其与KMS态的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在C*-流框架内推广无限维群的球面对表示理论？
• RQ2 在分支图上的投影链与具有KMS态的C*-流之间，存在何种精确对应关系？
• RQ3 如何通过流和KMS态，将紧致量子群的归纳极限嵌入C*-代数框架？
• RQ4 β-球面对向量在连接算子代数与可积概率中扮演何种角色？
• RQ5 任一具有正权重的图链接是否均可实现为某个C*-流所关联的链接？

主要发现

• 可从图(Z, E, r, s)、多重性函数m和正权重函数κ(e) > 0，显式构造原子W*-代数归纳极限A = lim→An上的C*-流αt。
• 所得流满足引理7.1中的连续性条件，并在(z,z′) = (r(e), s(e))时（e ∈ En），通过κ(αt,β)(z,z′) = κ(e)诱导出原始链接Zn−1 ←κ Zn。
• KMS态空间Kln_β(αt)同胚于完全度量凸空间的投影极限H+1(κ) = lim←−(M(Zn−1) ←κ M(Zn))。
• 该构造在无多重性归纳系统与具有正权重图的连续流及链接之间建立了双射对应。
• 该理论推广并统一了佐藤的量子群归纳极限与戈林（Gorin）在可积概率中关于q-类比一致系统的构造。
• 该理论实现了遍历方法与谱分解作为分析球面对表示及其KMS态实现的工具。