[论文解读] Spherical waves of spin 1 particle in anti de Sitter space-time

Е. М. Ovsiyuk, В. М. Редьков|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 69被引用 7

一句话总结

本论文通过三种不同的形式体系——四维标架规范下的达芬-凯默-佩蒂奥（DKP）矩阵形式体系、五维 SO(3.2) 群论方法，以及麦克斯韦方程的复黎曼-西尔伯斯坦-马约拉纳-奥本海默表示法——对反德西特时空中的自旋-1粒子场进行了全面分析。推导出一组完整的球形波解，其量子数为 $(\epsilon, j, m, l)$，确立了能量量子化规则 $\omega_{n,j} = \frac{c}{\rho}(2n + j + 1)$，并在洛伦兹规范下构建了电磁场解，证实了该曲率时空中的离散能级谱。

ABSTRACT

Three possible techniques to deal with a vector particle in the anti de Sitter cosmological model are viewed: Duffin-Kemmer-Petiau matrix formalism based on the general tetrad recipe, group theory 5-dimensional approach based on the symmetry group SO(3.2), anda tetrad form of Maxwell equations in complex Riemann-Silberstein-Majorana-Oppenheimer representation. In the first part, a spin 1 massive field is considered in static coordinates of the anti de Sitter space-time in tetrad-based approach. The complete set of spherical wave solutions with quantum numbers (ε, j,m,l) is constructed; angular dependence in wave functions is described with the help of Wigner functions. The energy quantization rule has been found. Transition to massless case of electromagnetic field is specified, and electromagnetic solutions in Lorentz gauge have been constructed. In the second part, the problem of a particle with spin 1 is considered on the base of 5-dimensional wave equation specified in the same static coordinates. In the third part, a rarely used approach, based on tetrad form of Maxwell equations in complex representation is examined in the anti de Sitter model.

研究动机与目标

• 为反德西特时空中自旋-1场（包括有质量与无质量情形）提供完整的解析处理。
• 解决尽管反德西特几何具有高度对称性且拓扑上具有研究价值，但其向量粒子的显式解仍长期缺乏的问题。
• 将较少使用的达芬-凯默-佩蒂奥（DKP）形式体系应用于弯曲时空，特别是反德西特时空。
• 比较三种不同形式体系——DKP、五维 SO(3.2) 群论与复四维标架麦克斯韦方程——求解自旋-1场方程的性能。
• 通过威格纳函数推导出包含完整角向依赖性的球形波解，并确立能量量子化规则。

提出的方法

• 在静态反德西特坐标系下，采用基于四维标架的达芬-凯默-佩蒂奥（DKP）矩阵形式体系处理有质量自旋-1场。
• 利用五维 SO(3.2) 群论框架，推导出自旋-1场的五维波方程。
• 采用复黎曼-西尔伯斯坦-马约拉纳-奥本海默表示法的四维标架形式麦克斯韦方程，处理电磁场。
• 通过变量替换 $ z = -r^2 $ 求解所得径向方程，将其转化为合流超几何型微分方程。
• 在 $ r = 0 $ 和 $ r \to \infty $ 处施加边界条件，以选取物理上可接受的解，要求 $ a = (j+1)/2 $ 且 $ b = -\omega/2 $。
• 采用含参数 $ \alpha = \frac{j+1}{2} - \frac{\omega}{2} $，$ \beta = \frac{j+1}{2} - \frac{\omega}{2} + \frac{1}{2} $，$ \gamma = 2a + \frac{1}{2} $ 的超几何函数解，并通过 $ \alpha = -n $ 强制解为多项式形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 DKP 形式体系下，反德西特时空中有质量自旋-1粒子的完整球形波解是什么？
• RQ2 自旋-1场在反德西特时空中如何从径向波方程导出能谱？其量子化规则为何？
• RQ3 复四维标架形式的麦克斯韦方程能否在反德西特几何中，特别是在洛伦兹规范下，产生一致的电磁场解？
• RQ4 DKP、五维 SO(3.2) 与复麦克斯韦三种形式体系在处理反德西特时空中的自旋-1场时，其表现如何比较？
• RQ5 威格纳函数在描述该曲率时空中自旋-1波函数的角向依赖性方面起什么作用？

主要发现

• 在反德西特时空中，有质量自旋-1粒子的能量量子化规则被推导为 $ \omega_{n,j} = \frac{c}{\rho}(2n + j + 1) $，其中 $ n = 0,1,2,\ldots $，$ j $ 为总角动量量子数，$ \rho $ 为曲率半径。
• 构造了具有量子数 $ (\epsilon, j, m, l) $ 的球形波解，其角向依赖性由威格纳函数完全描述。
• 向无质量极限的过渡可得到一致的电磁场解，且在洛伦兹规范下成立，证实了该形式体系对光子场的有效性。
• 径向方程可简化为合流超几何型微分方程，其解为 $ G(z) = z^a(1-z)^b F(z) $，其中 $ a = \frac{j+1}{2} $，$ b = -\frac{\omega}{2} $，且对多项式解要求 $ \alpha = -n $。
• 量子化条件 $ \alpha = -n $ 导致离散能级 $ \omega_{n,j} = \frac{c}{\rho}(2n + j + 1) $，证实了由于反德西特空间的紧致拓扑结构而存在的离散谱。
• 复四维标架形式的麦克斯韦方程为描述反德西特时空中经典电磁场提供了一个简化且优雅的框架。