[论文解读] Spherically symmetric empty space and its dual in general relativity

Naresh Dadhich|ArXiv.org|Mar 7, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于静态观测者和零测地线的相对能量密度与收敛密度，对广义相对论中球对称真空时空的新表征。研究表明，能量密度（ρ）为零、零测地线收敛密度（ρₙ）为零以及能量通量（Pᶜ）为零可完全确定史瓦西解，并引入一种对偶变换，将真空解映射为具有全局单极子或弦状尘埃电荷的对偶解，揭示了新的时空类，包括潜在的虫洞和反 de Sitter 类几何结构。

ABSTRACT

In the spirit of the Newtonian theory, we characterize spherically symmetric empty space in general relativity in terms of energy density measured by a static observer and convergence density experienced by null and timelike congruences. It turns out that space surrounding a static particle is entirely specified by vanishing of energy and null convergence density. The electrograv-dual$^{1}$ to this condition would be vanishing of timelike and null convergence density which gives the dual-vacuum solution representing a Schwarzschild black hole with global monopole charge$^{2}$ or with cloud of string dust$^{3}$. Here the duality$^{1}$ is defined by interchange of active and passive electric parts of the Riemann curvature, which amounts to interchange of the Ricci and Einstein tensors. This effective characterization of stationary vacuum works for the Schwarzschild and NUT solutions. The most remarkable feature of the effective characterization of empty space is that it leads to new dual spaces and the method can also be applied to lower and higher dimensions.

研究动机与目标

• 通过可测量的能量与收敛密度，提供一种在广义相对论中对球对称空时空的物理直观且协变的表征。
• 探讨是否可用基于能量与收敛密度的、比 R_ab = 0 更宽松但具有物理意义的条件集，替代真空条件 R_ab = 0。
• 通过交换黎曼曲率的主动与被动电部分，建立真空解与其对偶解之间的对偶性，从而导出新的物理时空。
• 将此表征方法推广至低维与高维时空，并识别出如虫洞与具有拓扑缺陷的黑洞等新解。
• 研究是否可通过识别场的引力磁分量，对克尔解进行类似表征，以及需要增加何种额外条件。

提出的方法

• 为静态观测者定义能量密度 ρ = T_ab u^a u^b，并利用径向类时与类光测地线，定义类时收敛密度 ρ_t = (T_ab - ½T g_ab)u^a u^b 与类光收敛密度 ρ_n = T_ab v^a v^b。
• 利用有效真空条件 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0（其中 Pᶜ = h^{ac}T_ab u^b = 0）在曲率坐标下推导出史瓦西解。
• 通过交换黎曼张量的主动与被动电部分，应用电磁引力对偶变换，该变换将里奇张量映射为爱因斯坦张量，且满足 ρ ↔ ρ_t。
• 推导出对偶真空条件 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0，得到爱因斯坦张量分量 G^0_0 = G^1_1，G^2_2 = 0，G^0_1 = 0，该条件描述了具有全局单极子电荷的史瓦西黑洞。
• 分析所得对偶解，包括在度规中引入常数 k 的情形，即 g_00 = (k + √(1 - 2GM/r))²，该情形描述了一类渐近平坦的时空，具有负能量轨道，可能呈现虫洞几何结构。
• 将该框架推广至其他解，如雷思纳-诺德斯特伦解（ρ = ρ_t，ρₙ = Pᶜ = 0）与 de Sitter 解（ρ + ρ_t = 0，ρₙ = Pᶜ = 0），并讨论 de Sitter 与反 de Sitter 时空之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相对论中，球对称空时空是否可被静态观测者参考下的零能量密度、零零测地线收敛密度及零能量通量完全表征？
• RQ2 当施加对偶条件 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 而非 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0 时，会生成何种物理时空？
• RQ3 通过交换黎曼曲率的主动与被动电部分所定义的电磁引力对偶变换，如何关联真空解与其对偶解？
• RQ4 该方法是否可推广至低维与高维时空，以生成如具有弦状尘埃的 3D 黑洞或具有全局单极子电荷的高维史瓦西解等新对偶时空？
• RQ5 克尔解是否可通过识别场的引力磁分量进行类似表征，以及需要增加何种额外条件？

主要发现

• 有效真空条件 ρ = ρₙ = Pᶜ = 0 在曲率坐标下唯一确定了史瓦西解，其度规为 g_00 = 1 - 2GM/r，且无需要求整个里奇张量为零。
• 对偶条件 ρ_t = ρₙ = Pᶜ = 0 导出具有全局单极子电荷或弦状尘埃的时空，对应于带有拓扑缺陷的史瓦西解。
• 度规为 g_00 = (k + √(1 - 2GM/r))² 且 g_11 = -(1 - 2GM/r)^{-1} 的对偶解描述了一类渐近平坦的时空，当 k > 0 时可能代表虫洞，当 k < 0 时则可能为具有能层的黑洞。
• 当 k < 0 时，该时空在 r_s = 2GM/(1 - k²) 处存在一个静态表面，在 r_h = 2GM 处存在视界，使得彭罗斯过程可提取与 k 相关的能量。
• 雷思纳-诺德斯特伦解由 ρ = ρ_t，ρₙ = Pᶜ = 0 表征，对应于迹为零的应力-能量张量；而 de Sitter 空间则对应于 ρ + ρ_t = 0，ρₙ = Pᶜ = 0，意味着 R_ab = Λ g_ab。
• 该对偶变换交换了 de Sitter（Λ > 0）与反 de Sitter（Λ < 0）时空，表明二者在电磁引力对偶下互为对偶。