[论文解读] Spiders in random environment

Christophe Gallesco, Sebastian Müller+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究了蜘蛛——一个在Z上受随机环境影响的N个相互作用粒子的随机游走系统——的速度，表明当且仅当比值κ/N > 1时，蜘蛛的速度为正，其中κ是根据环境尾部行为导出的关键指数。该模型具有传递性、不可约的相互作用规则，并使用 quenched 和 annealed 概率测度分析长期行为，揭示了由腿的数量和环境特性驱动的速度相变。

ABSTRACT

A spider consists of several, say $N$, particles. Particles can jump independently according to a random walk if the movement does not violate some given restriction rules. If the movement violates a rule it is not carried out. We consider random walk in random environment (RWRE) on $\Z$ as underlying random walk. We suppose the environment $\omega=(\omega_x)_{x \in \Z}$ to be elliptic, with positive drift and nestling, so that there exists a unique positive constant $\kappa$ such that $\E[((1-\omega_0)/\omega_0)^{\kappa}]=1$. The restriction rules are kept very general; we only assume transitivity and irreducibility of the spider. The main result is that the speed of a spider is positive if $\kappa/N>1$ and null if $\kappa/N<1$. In particular, if $\kappa/N <1$ a spider has null speed but the speed of a (single) RWRE is positive.

研究动机与目标

• 分析在随机环境中执行随机游走的蜘蛛（N个相互作用粒子）的长期速度。
• 确定蜘蛛在何种条件下表现出正速度或零速度，即使基础的单个随机游走具有正速度。
• 建立由比值κ/N决定的蜘蛛速度相变，其中κ由环境尾部分布导出。
• 将随机游走中球形性的结果扩展到具有限制规则的相互作用粒子情形。
• 解决单个RWRE与蜘蛛行为之间的差异：后者即使在前者为球形时也可能具有零速度。

提出的方法

• 将蜘蛛建模为在状态空间V = ∪x∈Z Lx上的连续时间马尔可夫过程，其中L是位置0处有限的局部构型集合。
• 基于环境ωx ∈ (0,1)定义转移速率，粒子独立移动，除非受距离规则限制。
• 使用蜘蛛图G(ω) = (V, E(ω))编码允许的转移，其中E(ω)由正转移速率决定。
• 应用势函数V(x) = ∑i=0x−1 ln(ωi−/ωi+)（x > 0），这是西诺伊随机游走环境理论的核心。
• 采用quenched和annealed概率测度：对固定环境ω的Pxω，以及对平均行为的Px = ∫ Pxω dP。
• 使用首次通过时间T和τ0返回时间来分析，对嵌入的跳跃链应用Birkhoff遍历定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有N条腿的蜘蛛在随机环境中具有正速度？
• RQ2 为何蜘蛛即使在相同环境中单个随机游走具有球形性，其速度仍可能为零？
• RQ3 由E[(ρ0)κ] = 1定义的关键指数κ，如何控制蜘蛛的速度？
• RQ4 腿的数量N在决定蜘蛛的球形行为中起什么作用？
• RQ5 蜘蛛的速度是由局部构型集合L的结构决定，还是仅由κ/N决定？

主要发现

• 蜘蛛的速度P-几乎必然为正，当且仅当κ/N > 1，其中κ是E[(ρ0)κ] = 1的唯一解。
• 当κ/N < 1时，蜘蛛的速度P-几乎必然为零，即使单个RWRE具有正速度。
• 当κ/N > 1时，速度为v = E[S1(T)] / E[T] > 0，其中T为首次返回到平移后的初始构型的时间。
• 临界情况κ/N = 1尚未解决，但作者推测此时速度为零。
• 结果与特定的局部构型集合L无关，仅依赖于N和κ。
• 证明依赖于首次通过时间的大偏差估计，利用环境的势函数和山谷结构控制返回概率。